\documentclass{article}
\usepackage{czech}
\usepackage{theorem}
%
\newtheorem{veta}{\bf Věta}
\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{pozn}{Poznámka}
\newtheorem{pr}{\hspace{\parindent}\rm\bf Příklad}
%
%
\let\origlim=\lim
\def\lim{\origlim\limits}
\def\olim{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}\limits}
%\def\mstrut{\vphantom{\left(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)}}%\rule[-8pt]{0pt}{25pt}}
\def\mstrut{\rule[-8pt]{0pt}{25pt}}
\begin{document}
\begin{veta}
\label{thm:13}
Nechť $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ je řada s kladnými členy. Je-li
%\begin{footnotesize}
$$
\setlength{\arraycolsep}{0pt}
\newlength{\parwidth}
\setlength{\parwidth}{2.65cm} %bulharska konstanta
\begin{array}{lll}
        \left.        
	\begin{array}{lr}	        
		\mstrut\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1 \mbox{ a } & l<1 \\
		\mstrut\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1 \mbox{ a } & l>1 \\
		\mstrut\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = k \mbox{ a } & k<1 \\
		\mstrut\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = k \mbox{ a } & k>1 \\
		\mstrut\lim_{n \to \infty} n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) = m \mbox{ a } & m > 1\\
		\mstrut\lim_{n \to \infty} n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) = m \mbox{ a } & m < 1
	\end{array}
	\right\}
	&	
	\mbox{, je řada\ }
	&
	\left\{
	\begin{array}{ll}
	        \left.
		\begin{array}{l}
		  \mstrut\mbox{konvergentní}\\
		  \mstrut\mbox{divergentní}
		\end{array}
		\right\}
		&
		\parbox{\parwidth}{odmocninové\\kritérium\\(Cauchyho),}

		\\
	        
	        \left.
		\begin{array}{l}
		  \mstrut\mbox{konvergentní}\\
		  \mstrut\mbox{divergentní}
		\end{array}
		\right\}
		&
		\parbox{\parwidth}{podílové\\kritérium\\(d'Alembertovo),}
		
		\\		
	        
	        \left.
		\begin{array}{l}
		  \mstrut\mbox{konvergentní}\\
		  \mstrut\mbox{divergentní}
		\end{array}
		\right\}
		&
		\parbox{\parwidth}{Raabeovo\\kritérium.}			
		
	\end{array}
	\right.
\end{array}	
$$
%\end{footnotesize}
\end{veta}
\begin{pozn}
Některá tvrzení věty \ref{thm:13} platí za obecnějších předpokladů
(viz např. [120]). Pro konvergenci dané řady stačí například, je-li
$$
\olim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} < 1, \mbox{\quad resp. } 
\olim_{n \to \infty}\ \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1
\eqno{(\mbox{věta 1.8})}
$$
Naopak, je-li $\sqrt[n]{a_n} \le 1$, resp. $(a_{n+1} / a_n \le 1$) pro
skoro všechna $n$, je řada divergentní.
\end{pozn}
%
\begin{pozn}
\label{pozn:8}
Cauchyho a d'Alembertovo kritérium nedáva rozhodnutí tehdy, když $l = 1$,
resp. $k=1$. Pro Raabeovo kritérium platí: Je-li (od určitého indexu~$n_0$
počínajíc) stále
$$n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) \le 1,$$
řada diverguje. Cauchyovým kritériem lze často dosáhnout rozhodnutí o
konvergenci i tehdy, když d'Alembertovo kritérium rozhodnutí nedáva
(nikoli však naopak). Nerozhodne-li Cauchyho kritérium, lze často
rozhodnout použitím \hbox{Raabeova} kritéria:
\end{pozn}
\begin{footnotesize}
\begin{pr}
Pro řadu $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ nedáva rozhodnutí ani
d'Alembertovo, ani Cauchyho kritérium. Raabeovo kritérium:
$$\lim_{n \to \infty} n \left( \frac{a_n}{a_{n+1} - 1} \right)= 
\lim_{n \to \infty} n \left[ \frac{(n+1)^2}{n^2} - 1 \right] =
\lim_{n \to \infty} \left(2 + \frac{1}{n} \right) = 2;
$$
řada je konvergentní.
\end{pr}
\begin{pr}
Podle poznámky \ref{pozn:8} je možno rozhodnout o divergenci harmonické
řady
$$
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}, \mbox{ neboť } n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right)
= n \left(\frac{n+1}{n} - 1 \right) = 1 \quad\mbox{pro všechna $n$.}
$$
\end{pr}
\end{footnotesize}
\end{document}