\documentclass{article}
\usepackage{slovak}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{rnt-thm}

\def\RR{\mathbb{R}}
\def\matica#1{\sf\bf #1}
\def\vektor#1{{\sf\bf #1}}
\def\nulvektor{{\sf\bf 0}}

\let\phi=\varphi
\begin{document}
\begin{df}
Inverznou maticou k štvorcovej matici $\matica{A}$ je matica $\matica{A^{-1}}$
taká, že platí
$$\matica{A} \matica{A}^{-1} = \matica{E}$$
\end{df}
%
\begin{pozn}\hfill
\begin{itemize}
\item K štvorcovej matici existuje inverzná matica akk determinant $|\matica{A}| \neq 0$.
\item štvorcová matica, ku ktorej neexistuje inverzná matica sa nazýva \pojem{singulárna matica}
\item štvorcová matica, ku ktorej existuje inverzná matica sa nazýva \pojem{regulárna matica}
\end{itemize}
\end{pozn}
%
\begin{df}
Nech $\matica{A}$ je reálna štvorcová matica stupňa $n$.
Každý nenulový vektor $\vektor{x} = (x_1, x_2,\dots,x_n)$,
pre ktorý platí
%
$$\matica{A} \vektor{x} = \lambda \vektor{x},$$
%
kde $\lambda$ je komplexné číslo, sa nazýva \pojem{vlastným
vektorom matice}  $\matica{A}$ odpovedajúcim číslu $\lambda$,
ktoré nazývame \pojem{vlastným číslom} matice $\matica{A}$ a
$\vektor{x}$ sa nazýva \pojem{vlastným vektorom} matice $\matica{A}$.
\end{df}

\begin{pozn}
Vzťah sa dá zapísať v tvare
$$(\matica{A} - \lambda\matica{E}) \vektor{x} = \nulvektor.$$
Ak prejdeme k súradnicovej forme zápisu, máme
\begin{eqnarray}
a_{11}x_1 + a_{21}x_2 + \dots + a_{n1}x_n & = & 0\nonumber\\
a_{12}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{n2}x_n & = & 0\nonumber\\
&\vdots&\label{eqn:system}\\
a_{1n}x_1 + a_{2n}x_2 + \dots + a_{nn}x_n & = & 0\nonumber
\end{eqnarray}
Za účelom nájdenia vlastného vektora je nutné nájsť nenulové
riešenie systému (\ref{eqn:system}), ktoré existuje
práve vtedy, keď determinant matice systému (\ref{eqn:system})
je $\det(\matica{A}^\top - \lambda\matica{E}) = \det(\matica{A} - \lambda{A}) = 0$,
t. j.
$$\det(\matica{A} - \lambda\matica{E}) = 
\left|
\begin{array}{cccc}
a_{11} - \lambda & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} - \lambda & \dots & a_{2n}\\
&\vdots&\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} - \lambda\\
\end{array}
\right|
= 0$$

\end{pozn}

\begin{df}\hfill
\begin{itemize}
\item Matica $\matica{A} - \lambda\matica{E}$ sa nazýva charakteristickou
maticou lineárneho zobrazenia $\phi$.
\item polynóm $P_n(\lambda) = \det(\matica{A} - \lambda\matica{E})$
sa nazýva charakteristickým polynómom lineárneho zobrazenia
$\phi$
\item spektrom lineárneho zobrazenia $\phi$ nazývame
systém všetkých koreňov charakteristického polynómu, pričom
každý koreň je v ňom uvedený toľkokrát, aká je jeho násobnosť.
\item ak $\vektor{x}_1, \vektor{x}_2,\dots,\vektor{x}_k$ sú
vlastné vektory lineárneho zobrazenia $\phi$ patriace
vlastným čísla $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, ktoré sú navzájom
rôzne, potom sú vektory $\vektor{x}_1, \vektor{x}_2,\dots,\vektor{x}_k$
lineárne nezávislé.
\end{itemize}
\end{df}

\begin{df}
Komplexne združené číslo k číslu $z = a + b {\rm i}$ je definované
ako
$$\bar{z} = a - b {\rm i}$$
\end{df}

\begin{df}
Štvorcová matica sa nazýva hermitovskou, ak je samoadjungovanou,
resp. ak pre prvky matice platí
$$a_{ij} = \bar{a}_{ji},$$
kde pre dané $z$ je $\bar{z}$ komplexne združeným číslom.
\end{df}

\begin{pozn}\hfill
\begin{itemize}
\item diagonálne prvky hermitovskej matice sú reálne čísla (lebo
$a_{ii} = \bar{a}_{ii}$).
\item každá celočíselná alebo reálna matica je hermitovská,
akk je symetrická.
\item hermitovské matice majú reálne vlastné čísla
\end{itemize}
\end{pozn}

\begin{df}
\pojem{Pozitívne semidefinitnou maticou} nazývame
každú hermitovskú maticu, ktorej vlastné čísla
sú nezáporné.
\end{df}

\begin{df}
Štvorcová matica $\matica{A}$ typu $n \times n$ sa nazýva
ortogonálnou, ak
$$\matica{A} \matica{A}^\top = \matica{E}$$
\end{df}

\begin{pozn}\hfill
\begin{itemize}
\item ortogonálna matica je vždy invertibilná a platí
$$\matica{A}^{-1} = \matica{A}^\top,$$
resp.
$$(a^{-1})_{ij} = a_{ji}$$
\item determinant ortogonálnej matice je rovný $\pm 1$
\item súčin dvoch ortogonálnych matíc je ortogonálna matica
\item inverzná matica ortogonálnej matice je ortogonálna matica
\end{itemize}
\end{pozn}

\bigskip\noindent\textbf{Literatúra}
\begin{itemize}
\item Eric W. Weisstein. MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/
\item Algebra: poznámky z prednášok 2000/2001 a 2001/2002 podľa doc. J. Lihovej. http://s.ics.upjs.sk/~novotnyr/home/skola/algebra/alg.pdf
\end{itemize}
\end{document}