\documentclass[10pt, a4paper, twocolumn]{article}
\usepackage{slovak}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{rnt-thm}

\setlength{\columnseprule}{0.4pt}

\def\RR{\mathbb{R}}
\def\matica#1{#1}
\def\vektor#1{{\sf\bf #1}}
\def\m#1{\sf\bf #1}
\def\vek#1{{\sf\bf #1}}

\def\nulvektor{{\sf\bf 0}}
\def\stopa{\mathop{\rm stopa}}
\def\D{\,{\rm d}}
\def\DD{\partial}

\def\mod{\mathop{\rm mod}}
\parindent=0pt

\let\phi=\varphi

\begin{document}
\section*{Normálne rozdelenie}
\begin{itemize}
\item $\phi(x) = {1 \over \sqrt{2\pi}} \rm{e}^{x^2 \over 2}$
\item $\Phi(x) = \int_{-\infty}^\infty \phi(x) \D x$
\item $\Phi_0(x) = \int_0^\infty \phi(x) \D x$
\end{itemize}
Platí:
\begin{itemize}
\item $\phi(-x) = \phi(x)$
\item $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$
\item $\Phi(x) = {1 \over 2} + \Phi_0(x)$
\item $\Phi_0(x) = - \Phi_0(x)$
\end{itemize}
Pre malé $x$ možno použiť
$$\Phi_0(x) = \phi(x)\left(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{3 \cdot 5} + \frac{x^7}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \dots\right)$$
Pre veľké $x$ možno použiť
\begin{scriptsize}
$$
1 - \Phi_0(x) = 
\phi(x)\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3} + \frac{1 \cdot 3}{x^5} - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{x^7} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{x^9} - \dots
\right)
$$
\end{scriptsize}
kde $x > 0$.

\bigskip
Iná aproximácia
$$\Phi_0(x) \eqcirc {1 \over 2} \left[ 1 - \left(\sum_{i=0}^6 b_ix^i\right)^{-16}\right],$$
kde $x > 0$ a 
\begin{eqnarray*}
b_0 & = & 1\\
b_1 & = & 0,049\ 867\ 347\\
b_2 & = & 0,021\ 141\ 006\\
b_3 & = & 0,003\ 277\ 626
\end{eqnarray*}

\subsection*{Kvantilová funkcia}
Prvotná aproximácia:
$$z = w - \frac{\sum\limits_{i=0}^2 a_i w^i}{\sum\limits_{i=0}^3 b_i w^i},$$
kde $\alpha \in (0, 0{,}5\rangle$, $w = \sqrt{-2 \ln(1 - \alpha)}$.
\par\medskip
Taylorov polynóm má tvar
$$u_\alpha^{(n)} =  z + \sum_{i=1}^n {c_i(z) \over {\rm i}!} \left[\alpha - \Phi(z) \over \phi(z)\right]^i$$
kde
\begin{eqnarray*}
c_1(z) & = & 1\\
c_2(z) & = & z\\
c_3(z) & = & 2z^2 + 1\\
& \vdots & \\
c_{i+1}(z) & = & {\rm i} \cdot z \cdot c_i(z) + {\D \over \D z}c_i(z)
\end{eqnarray*}
\section*{Generátory náhodných čísiel}
\subsection*{Lineárne rekurentné generátory}
Nech $n = k, k+1,\dots$, $a_1,a_2,\dots,a_k$, $b$ sú nezáporné celé čísla
a $X_0,\dots,X_{k-1}$ sú počiatočné hodnoty.
$$X_n = a_1 X_{n-1} + a_2 X_{n-2} + \dots + a_k X_{n-k} + b \ (\mod m).$$
\par
Potom definujeme $U_i = {X_i \over m}$, teda $U_i \in \langle 0,1)$.
\par\medskip
Najčastejšie používané
$$X_n = aX_{n-1} + b \pmod m \eqno{(1)}$$
\begin{tvrd}
Nech $b$ a $m$ sú nesúdeliteľné, $a \equiv 1 \pmod p$ pre každý prvočiniteľ
prvočíselného rozkladu $m$. Nech $a \equiv 4 \pmod 4$, ak $m$ je násobok
4. Potom má generátor $X_n = aX_{n-1} + b \pmod m$ plnú periódu.
\end{tvrd}
\begin{tvrd}
Nech $b$ a $m$ sú nesúdeliteľné, $a \equiv 1 \pmod p$ pre každý prvočiniteľ
prvočíselného rozkladu $m$. Nech $a \equiv 4 \pmod 4$, ak $m$ je násobok
4. Potom má generátor $X_n = aX_{n-1} + b \pmod m$ plnú periódu.
\end{tvrd}
\subsubsection{Seriálna korelácia}
Pre generátor (1) s plnou periódou platí pre korelačný koeficient susedných čísiel
$$\rho_{X_{n-1}X_n} \doteq {1 \over a} $$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Maticové výpočty}
\subsection*{Miera singularity}
$$\rm{CN}_1(A) = \Vert A \Vert \cdot \Vert A^{-1} \Vert,$$
kde $\Vert A \Vert = \max_j \sum_i |a_{ij}|$.
$$\rm{CN}_2(A) = \frac{\lambda_{\rm max}(A A^\top)}{\lambda_{\rm min}(A A^\top)}$$
Väčší koeficient = matica je bližšie k singularite.
\subsection*{Inverzia symetrickej matice}
\begin{itemize}
\item \textbf{inverzia trojuholníkovej matice} z rovnice $$CC^{-1} = I$$
\item \textbf{LU rozklad} $A = U^\top U$, kde $U$ je horná trojuholníková matica.
Potom $$A^{-1} = U^{-1}(U^\top)^{-1}$$
\item \textbf{Choleského metóda}. Rozložíme
$$A = U^\top D U$$
Potom
$$A^{-1} = U^{-1}D^{-1}(U^\top)^{-1}$$
\end{itemize}
%
\subsection*{Symetrická sústava lineárnych rovníc}
Riešime sústavu $Ax = b$, t. j. $$x = A^{-1}b.$$
Rozložíme $A^{-1} = U^{-1}D^{-1}(U^\top)^{-1}$.
Riešime dve sústavy
\begin{eqnarray*}
U^\top y & = & b\\
Ux & = & D^{-1}y
\end{eqnarray*}
Kontrola správnosti:\par
Nech $r = Ax_0 - b$ je reziduum približného riešenia sústavy.
Spresnenie riešenia sa získa riešením sústavy $Ad = r$ a potom
$x = x_0 - d$.
\subsection*{MP-inverzia}
$$A^+ = A^\top U_r \Lambda_r^{-1}U_r^\top,$$
kde
$$AA^\top = (U_R \quad U_{m-r})
\matrix{\Lambda_r 0\cr
0 0
}$$
Podmienky:
\begin{itemize}
\item $\matica{A}\matica{A}^+\matica{A} = \matica{A}$
\item $\matica{A}^+\matica{A}\matica{A}^+ = \matica{A}^+$
\item $(\matica{A}\matica{A}^+)^\top = \matica{A}\matica{A}^+$
\item $(\matica{A}^+\matica{A})^\top = \matica{A}^+\matica{A}$
\end{itemize}
Alternatívne MP inverzia podľa matice $A^\top A$:
$$A^+ = U_r \Lambda_r^{-1}U_r^\top A^\top$$

\def\XX{\mathbb{X}}
\def\YY{\mathbb{Y}}
\def\ZZ{\mathbb{Z}}
\def\UU{\mathbb{U}}
\def\V#1{\mathbb{#1}}
\def\NN{\mathbb{N}}

\section*{Ostatné rozdelenia}
\subsection*{Metóda inverznej transformácie}
Nech $F(x)$ je distribučná funkcia, nech
$$F^{-1}(x) = \sup_{x \in (0, 1)}\{x: F(x) \le y\}$$
nech $\YY \sim R(0, 1)$. Potom náhodná veličina $\XX = F^{-1}(\YY)$
má rozdelenie s distribučnou funkciou $F(x)$.

\subsection*{Zamietacia metóda}
Nech pre hustotu pravdepodobnosti $f(x)$ platí
$$f(x) \cases{
= 0 & ak $x \notin \langle a,b \rangle$ \cr
\le c & pre $x \in \langle a, b\rangle$}$$
Nech $\YY \sim R(a,b)$ a $\ZZ \sim R(0, c)$ sú nezávislé náhodné veličiny.
Potom náhodná veličiny $\XX = \YY$ za podmienky, že $f(\YY) \ge \ZZ$ má rozdelenie s hustotou $f(x)$.
\par
\textit{Problémy:} predpoklad konečnosti nosiča, predpoklad ohraničenosti hustoty.
\subsubsection*{Algoritmus:}
\begin{enumerate}
\item generuj nezávislé veličiny $\V{U}_1, \V{U}_2 \sim R(0,1)$
\item definuj $\YY = a + \V{U}_1 (b-a)$, $\ZZ = c\UU_2$
\item ak $f(\YY) \ge \ZZ$, potom polož $\XX = \YY$, inak zamietni dvojicu $\UU_1, \UU_2$.
\end{enumerate}
%
\subsubsection*{Efektívnosť:}
%
Všeobecne:
$$E = {\mbox{počet nezamietnutých dvojíc} \over \mbox{počet všetkých dvojíc}}$$
Stredná hodnota efektívnosti:
\begin{eqnarray*}
E_0 & = & {\mbox{plocha pod hustotou} \over \mbox{plocha obdĺžnika}} = \frac{1}{c(b-a)}\\
& = & P(\mbox{dvojicu nezamietame})
\end{eqnarray*}

\subsection*{Všeobecná zamietacia metóda}
Nech $\YY$ má rozdelenie s hustotou $g(x)$ a nech pre hustotu $f(x)$
existuje konštanta $c$, že $$\forall x: f(x) \le c \cdot g(x).$$
Nech podmienené rozdelenie náhodnej veličiny $\ZZ$ pri danom $\YY$
je $R(0, c \cdot g(\YY))$. Potom náhodná veličina $\XX = \YY$ za 
podmienky, že $\ZZ \le f(\YY)$, má rozdelenie s hustotou $f(x)$.

\subsubsection*{Algoritmus:}

\begin{enumerate}
\item generuj náhodné číslo $\YY$ z rozdelenia s hustotou $g(x)$.
\item generuj náhodné číslo $\ZZ \sim R(0, c\cdot g(\YY))$.
\item ak $f(\YY) \ge \ZZ$, potom polož $\XX = \YY$, inak zamietni dvojicu $\UU_1, \UU_2$.
\end{enumerate}

\subsection*{Podielová metóda}
Nech $G = \left\{(y, z): 0 \le y \le \sqrt{f\left(a + b\frac{z}{y}\right)}\right\}$, kde
$f(x)$ je hustota pravdepodobnosti, $a \in \RR$, $b > 0$. Nech $(\YY, \ZZ)$
má rovnomerné rozdelenie na ohraničenej množine $H \supset G$.\\
Položme $\V{W} = a + b{\ZZ \over \YY}$. Potom náhodná veličina $\XX = \V{W}$,
za podmienky, že $\YY^2 \le f(\V{W})$, má rozdelenie s hustotou $f(x)$.

Maximálne hodnoty súradníc má útvar na hranici 
$$y = \sqrt{f\left(a + b\frac{z}{y}\right)}$$
Nech $t = a + b{z \over y}$. Potom
$$y \in \left\langle 0, \sup\sqrt{f(t)}\right\rangle = \langle 0, y^* \rangle$$
Potom 
$$z = {t-a \over b}y = {t-a \over b}\sqrt{f(t)},$$
teda
$$z = \left\langle \inf {t-a \over b}\sqrt{f(t)}, \sup {t-a \over b}\sqrt{f(t)}\right\rangle$$
teda
$$z \in \langle z_*, z^*\rangle.$$

\subsubsection*{Algoritmus:}
\begin{enumerate}
\item generuj nezávislé veličiny $\YY \sim R(0, y^*)$ a $\ZZ \sim R(z_*, z^*)$.
\item definuj $\V{W} = a + b {\ZZ \over \YY}$
\item ak $\YY^2 \le f(\V{W})$, potom polož $\XX = \V{W}$, inak zamietni dvojicu $\YY, \ZZ$.
\end{enumerate}

\subsection*{Kompozičná metóda}
Nech $H(y)$ je distribučná funkcia a $\{g_y(x)\}$ systém hustôt pravdepodobností závislých
od parametra $y$. Nech $\YY$ má rozdelenie s distribučnou funkciou $H(y)$ a nech podmienené
rozdelenie náhodnej veličiny $\XX$ pri danom $\YY$ má hustotu $g_\YY$. Potom
$\XX$ má rozdelenie s hustotou
$$f(x) = \int_{-\infty}^\infty g_y(x) \D H(y).$$

\section*{Špeciálne metódy}
\subsubsection*{Generátor normálneho rozdelenia}
Nech $\UU_1, \UU_2 \sim R(0, 1)$ sú nezávislé. Potom
\begin{eqnarray*}
\XX_1 & = & \sqrt{-2 \ln(\UU_1)}\sin(2\pi\UU_2)\\
\XX_2 & = & \sqrt{-2 \ln(\UU_1)}\cos(2\pi\UU_2)
\end{eqnarray*}
sú nezávislé náhodné veličiny s rozdelením $N(0, 1)$.
\par
Kvôli zníženiu závislosti je vhodné používať 
dva nezávislé generátory, napr:
\begin{eqnarray*}
U'_{n+1} & = & 5U'_n \pmod{2^{35}}\\
U''_{n+1} & = & 131U''_n \pmod{2^{35}}
\end{eqnarray*}
%
\subsection*{Gama rozdelenie}
\subsubsection*{Generátor pre prirodzené $p$}
Nech $\alpha > 0$, $p \in \NN$ a $\UU_1,\dots,\UU_n \sim R(0,1)$ sú nezávislé NV.
Potom NV
$$\XX = -{1 \over \alpha}\sum_{i=1}^p \ln \UU_i$$
má rozdelenie $\Gamma(\alpha, p)$.

\subsubsection*{Generátor pre $p \in (0, 1)$}
Nech $\alpha > 0$, $p \in (0,1)$ a $\YY \sim B(p, 1-p)$ a $\ZZ \sim \Gamma(1,1)$ sú nezávislé NV.
Potom NV
$$\XX = {1 \over \alpha} \YY \ZZ$$
má rozdelenie $\Gamma(\alpha, p)$.

\bigskip\noindent
Vo všeobecnosti vieme $p \in \RR^+$ rozdeliť na celú a zlomkovú časť
$$p = [p] + \{p\},$$
a využiť
$$\Gamma(\alpha, p) = \Gamma(\alpha, [p]) + \Gamma(\alpha, \{p\})$$

\subsection*{Generátor beta rozdelenia z $R(0,1)$}
Nech $\alpha, \beta > 0$. Nech $\YY$, $\ZZ \sim R(0,1)$ sú nezávislé. 
Potom NV
$$\XX = \frac{Y^{1 \over \alpha}}{Y^{1 \over \alpha} + Z^{1 \over \alpha}}$$
za podmienky, že $Y^{1 \over \alpha} + Z^{1 \over \alpha} < 1$ má
rozdelenie $B(\alpha, \beta)$.

\subsection*{Beta rozdelenie}
\subsubsection*{Generátor beta rozdelenia z $\Gamma$-rozdelenia}
Nech $\alpha, \beta \in \NN$. Nech $\YY \sim \Gamma(1,\alpha)$
a $\ZZ \sim \Gamma(1,\beta)$ sú nezávislé. 
Potom NV:
$$\XX = {\YY \over \YY + \ZZ}$$
má rozdelenie $B(\alpha, \beta)$.

\subsection*{Ostatné rozdelenia}
\subsubsection*{$\chi^2$-rozdelenie}
Platí
\begin{eqnarray*}
\chi^2_n = \Gamma\left(\frac{1}{2}, \frac{n}{2}\right)\\
\chi^2_n = \sum_1^n (N(0, 1))^2
\end{eqnarray*}
\subsubsection*{Studentovo $t$-rozdelenie}
V prípade
$$t_n = \frac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2_n}}\sqrt{n}$$
treba používať na čitateľa a menovateľa rôzne generátory.
\par
\medskip
Podielovou metódou s parametrami $a=0$, $b={\sqrt{3} \over 2}$
generujeme rozdelenie $t_3$ s hustotou
$$t_3(x) = \frac{2}{\pi\sqrt{3}}\left(1 + {x^2 \over 3}\right)^{-2}.$$
\par
\medskip
V zovšeobecnenej zamietacej metóde hustota $t_3(x)$ dominuje pri koeficiente $c = {8 \over 9}\sqrt{3\pi \over 2 \rm{e}}$
rozdelenie
$$t_n(x) = {\Gamma\left({n+1 \over 2}\right) \over \Gamma\left({n \over 2}\right) \sqrt{n\pi}}
\left(1+{x^2 \over n}\right)^{-{n+1 \over 2}}$$
\subsubsection*{$F$-rozdelenie}
Nech $\YY \sim B\left({\alpha \over 2}, {\beta \over 2}\right)$. Potom NV
$$\XX = \frac{\beta\YY}{\alpha(1-\YY)}$$
má rozdelenie $F(\alpha, \beta)$.
\subsubsection*{log-normálne rozdelenie}
$$\rm{LN}(\mu, \sigma^2) = \rm{e}^{N(\mu, \sigma^2)}$$

\section*{Simulácie}
Nech $\XX_1,\dots,\XX_n$ je náhodný výber z rozdelenia s distribučnou funkciou $F(x)$.
Ak $\XX_{(1)} \le \XX_{(2)} \le \dots \le \XX_{(n)}$ je prislúchajúci usporiadaný náhodný výber,
potom definujeme empirickú distribučnú funkciu vzťahom
$$F_n(x) = \cases{
0 & ak $x \le \XX_{(1)}$\cr
{k \over n} & ak $\XX_{(r)} < x \le \XX_{(k+1)}$ \cr
& \hspace{.5cm} a \cr
& $\XX_{(r-1)} \le \XX_{(r)} = \dots = \XX_{(k)} < \XX_{(k+1)}$\cr
1 & ak $\XX_{(n)} < x$
}$$

\section*{Približný výpočet integrálu}
Majme funkciu $f(x)$, kde $\forall x: f(x) \ge 0$. Rátame
$$I = \int_0^1 f(x) \D x$$
\subsection*{Všeobecná metóda}
Ak $\UU_1,\dots,\UU_n \sim R(0,1)$ sú nezávislé NV, potom
$f(\UU_1),\dots,f(\UU_n)$ sú tiež nezávislé NV a platí
$$E(f(\UU_i)) = I$$
Teda sú to nestranné odhady hodnoty $I$. Aritmetický
priemer je potom tiež nestranným odhadom hodnoty $I$.
$$\theta_i = {1 \over n}\sum_{i=1}^nf(\UU_i)$$

\subsection*{Zamietacia metóda}
Nech $\forall x \in (0,1): f(x) \le c$. Generujeme náhodné body
$(\UU_1,\V{V}_1), \dots, (\UU_n,\V{V}_n)$ s rovnomerným
rozdelením na $(0, 1) \times (0, c)$. Teda $\UU_i$ tvoria
náhodný výber z $R(0, 1)$ a $\V{V}_j$ náhodný výber z $R(0, c)$.
Definujeme funkciu
$$g(x,y) = \cases{0 & ak $f(x) < y$ \cr 1 & ak $f(x) \ge y$}$$
Potom nestranným odhadom $I$ je
$$\theta_2 = c \cdot {1 \over n}\sum_{i=1}^n g (\UU_i, \V{V}_i) = c \cdot {n_1 \over n},$$
kde $n_1$ je počet vygenerovaných bodov ležiacich pod grafom $f(x)$.

\subsection*{Metóda výberu podľa dôležitosti}
Nech $h(x)$ je hustota pravdepodobnosti taká, že $h(x) = 0$ akk $f(x) = 0$.
Ak máme náhodný výber $\XX_1,\dots,\XX_n$ z rozdelenia s distribučnou funkciou $H(x)$,
potom nestranným odhadom integrálu $I$ je
$$\theta_3 = {1 \over n} \sum_{i=1}^n {f(\XX_i) \over h(\XX_i)}$$

\subsection*{Metóda stratifikovaného výberu}
Majme interval $(0, 1)$ rozdelený na $k$ podintervalov
$$0 = a_0 < a_1 < \dots < a_k = 1$$
Na $i$-tom podintervale generujme $n_i$ čísiel s rovnomerným
rozdelením. Ak $\sum_{i=1}^n n_i = n$ a $\UU_1,\dots,\UU_n$ je náhodný výber z $R(0, 1)$,
potom definujeme 
$$\UU_{ij} = \UU_{n_1 + \dots + n_{i-1} + j}$$
a nestranný odhad $I$ je
$$\theta_4 = {1 \over n}\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (a_i - a_{i-1}) \cdot {1 \over n_i}f\Big(a_{i-1} + (a_i - a_{i-1}) \UU_{ij}\Big)$$
\subsection*{Metóda riadiacich premenných}
Nech $g(x)$ je funkcia, ktorá dobre aproximuje $f(x)$ taká, že integrál
$$J = \int_0^1 g(x) \D x$$
vieme spočítať analyticky.
Neznámym odhadom $I$ je potom
$$\theta_5 = J + {1 \over n} \sum_{i=1}^n (f(\UU_i) - g(\UU_i)).$$
\subsection*{Metóda antitetických premenných}
Nech pre $g(x)$ platí
$$\int_0^1 g(x) \D x = I$$
Ak $\UU_1, \dots, \UU_n \sim R(0, 1)$ sú nezávislé NV, potom nestranný odhad $I$ je
$$\theta_6 = {1 \over 2n} \sum_{i=1}^n (f(\UU_i) + g(\UU_i)).$$
Ak $f(x)$ je monotónna, potom vezmeme $g(x) = f(1-x)$ a 
$$\theta_6 = {1 \over 2n} \sum_{i=1}^n (f(\UU_i) + f(1 - \UU_i)).$$

\section*{Bootstrap}
\subsection*{Jackknife}
Ak $\XX_1,\dots,\XX_n$ je náhodný výber a $S(\XX_1,\dots,\XX_n)$
je vypočítaná štatistika, potom séria odhadov
\begin{eqnarray*}
& S_{n-1}(\XX_2,\dots,\XX_n),&\\
&S_{n-1}(\XX_1,\XX_3\dots,\XX_n),&\\
&\vdots&\\
&S_{n-1}(\XX_1,\dots,\XX_{n-1})&
\end{eqnarray*}
umožňuje vypočítať empirické rozdelenie štatistiky $S$ (fakticky
$S_{n-1}$).
\subsection*{Bootstrap / MOV}
Nech $\XX_1,\dots,\XX_n$ je náhodný výber z neznámeho rozdelenia $F$.
Nech $\XX = (\XX_1,\dots,\XX_n)$ a $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)$ je realizácia
náhodného výberu. Odhadnime rozdelenie $R = R(\XX, F)$ náhodnej veličiny
na základe pozorovaného vektora $\mathbf{x}$.

Použijeme štatistiku
$$R(\XX, F) = t(x) - \theta(F),$$
kde $\theta(F)$ je parameter, ktorý nás zaujíma (napr. stredná hodnota)
a $t(x)$ je jeho odhad (napr. aritmetický priemer).
\begin{itemize}
\item skonštruujeme výberové rozdelenie $\hat F = F_n(x)$, kde $F_n(x)$
je empirická distribučná funkcia
\item pri pevnom $\hat F$ urobíme náhodný výber rozsahu $n$ z $\hat F$.
Označíme ho $\XX^*$ a jeho realizáciu $\mathbf{x}^*$. Tento výber sa označuje
ako MOV-výber.
\item rozdelenie $R(\XX, F)$ aproximujeme MOV-rozdelením $R^* = R(\XX^*, \hat F)$.
\end{itemize}
MOV-rozdelenie aproximujeme napr. empirickým rozdelením metódou Monte Carlo.
Robíme opakované náhodné výbery $\XX^*$ o rozsahu $n$ z $\hat F$ a z ich realizácií
$\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_N$ zostrojíme empirické rozdelenie $G_N(R^*)$.
\end{document}