Pravdepodobnost a statistika - poznamky z prednasok
	   -------------------------------------------------- 
                              E R R A T A 
	   -------------------------------------------------- 
Poznamky:
---------
znak ^ znamena horny index
znak _ znamena dolny index
\infty znamena nekonecno
\in znamena "patri do"   
XX, YY - tucne X, resp. tucne Y


Def. 1.4 (operacie s javmi) - prienik javov ... \omega \in A a zaroven \omega \in B
Veta 1.3 (o poloaditivnosti) - dokaz - posledna rovnost - chyba prava zatvorka za P(U_k A_k)
Paragraph 2.1 - "...pricom A_1 ma splnat Kolmogorovovu axiomatiku"  .. A ma byt pisane, nie tlacene
Def. 2.19 - "nazyvame funkciu \phi_X: R_1 -> C" (do komplexnych cisel)
Pozn. 2.27 - integral e^{\alpha x} dx = e^{\alpha x} lomene ALFA
Pozn. 2.27 - de^{\alpha x} lomene dx = \alpha . e^{ALFA x}
16 - dokaz ad 1 - Uvazujme RASTUCU postupnost

Verzie po 7.1.2003
--------
Veta 1.1 - "Nech \Omega je pravdepodobnostný priestor" -> "Nech je daný pravdepodobnostný
priestor"
Veta 1.3 (o poloaditivnosti) - vzorec - <= rovne namiesto =
Definicia 1.12 - .. javovom poli \mathcal{A} (podmnoziny vyberoveho priestoru \Omega)
(chyba prava zatvorka za \Omega)
Veta 1.4 - Dokaz 2.) - Vo výraze nasledujúcom za "Počítajme:" nahradiť
všade "j=1" -> "j=i+1"
Veta 1.6 - Pre pravdepodobnost potom mame ... + P((U_i=1^n)^c) = ... 
(chyba jedna sada zatvoriek kvoli prehladnosti)
Veta 1.6 - "Ekvivalentnym prepisanim druheho scitanca ziskame..."
namiesto zjednotenia pravdepodobnosti ma by sucet pravdepodobnosti rovny 1
Definícia 1.15 - "Nech A, B \in A" -> "Nech A, H \in A"
Veta 1.9 - Bayesova - "Nech javy A_i" -> spravne ma byt "Nech javy H_i"
Veta 1.9 - Bayesova - Dokaz - "Vyjadrime teraz P(H_k | A)" -> "Vyjadrime teraz P(H_j | A)"
Veta 1.4 - Dokaz - "Indukcny predpoklad bude: (nasleduje vzorec) - 
vo vzorci namiesto "A_J" ma byt "A_j"
Veta 1.10 - zaver dokazu - posledne tri ekvivalencie nerovnosti -> spravny
tvar vid nove vydanie
Veta 2.1 - Dokaz - "Uvazujme postupnost..." - v druhej limite namiesto "to" ma by sipka vpravo
Veta 2.1 - Dokaz - "To podla definicie znamena, ze lim_{n->\infty} A_n" (doplnit A_n)
Veta 2.1 - Dokaz Ad 2. - "na reálne osi" -> "reálnej osi"
Veta 2.1 - Dokaz Ad 3. - "Pocitajme..." nahradit vsade 0+ vyrazom 0-
Veta 2.1 - Dokaz Ad 3. - "opat mozeme vyjadrit..." -> odstranit (-\infty,x)
Veta 2.1 - Dokaz Ad 3. - "Javy na pravej strane su nezlucitelne, preto: P(XX-X)"
(odstranit zatvorku pred P)
Veta 2.4 - Dokaz 3. - "Oznacme ... ako E(g(XX,YY)". -> chyba prava zatvorka
Veta 2.5 - bod 2. - opravit "2ab.E[(\XX-E(XX))(\YY-E(\YY)]" (namiesto E(\YY) ma byt E(\XX))
Veta 2.5 - Dokaz 3. - opravit "2ab.E[(\XX-E(XX))(\YY-E(\YY)]" (namiesto E(\YY) ma byt E(\XX))
Veta 2.5 - Dokaz - "Potom mame... \sum_i (XX_i-E(XX))^2 . p_i" - namiesto XX_i
ma byt x_i
Veta 2.5 - Dokaz - "..pre kazde i plati XX_i=a.." -> namiesto XX_i ma byt x_i
Veta 2.6 - Dokaz - tretia rovnost - "integral_-\infty^infty - ..."
ma byt "integral_-\infty^\infty f(x)d(x)"
Veta 2.6 - Dokaz - "x^2/\epsilon^2 >=1<=x^2/\epsilon^2" -> x^2/\epsilon^2 >=1
Poznamka 2.22 - "Na lavu stranu uvedenej nerovnosti" -> "Na lavu stranu uvedenej rovnosti"
Veta 2.7 - "Nech F(X) je spojita" -> "Nech F(x) je spojita"
Veta 2.9 - Dokaz - opravit podla aktualnej verzie (too many errors...)

Verzie po 10.1.2003
--------
Veta 1.10 - Dokaz 1.) - "P(U_k=1^\infty A_k) = P(U_k=1^n B_k)" -> pri
pravdepodobnosti zjednotení javov B_k ide k od 1 po nekonečno (nie po n)
Veta 2.1 - Dokaz Ad 3. - "Pocitajme..." nahradit vsade 0- vyrazom 0+
Veta 2.12 - "Nech XX, YY \in L^k" -> "Nech XX, YY \in L^1"
Veta 2.12 - poznamka pod vetou - "V nasledovnej vete" -> "V tejto vete"
Veta 2.4 - Dokaz 2.) - svorka oznacujuca E(XX) ma byt pod celym integralom
Veta 2.6 - Dokaz - "Kedze \epsilon>0, mozeme odhadnut |x|>\epsilon" ->
spravne ma byt |x|>=\epsilon
Poznamka 2.16 - "Vlastnosti funkcii beta" - doplnit "a gama"
Priklad 2.23 - spravne ma byt "lim_{x -> \infty} ln(1+x^2)=\infty"
a "lim_{x -> 0} ln(1+x^2)=-0"
Definicia 2.16 - "F^-1(x)" -> "F(x)"
Definicia 2.17 - "F^-1(x)" -> "F(x)" u x_0,25 aj x_0,75
Poznamka 2.18 - vypoctovy tvar charakteristickej funkcie pre XX diskretnu -
opravit e^{itx} na e^{itx_k}
Veta 2.8 - dokaz Ad 1.) - integral z absolutnej hodnoty - absolutna hodnota
konci pred dx, nie za dx
Veta 2.29 - opravit "sinh" na "sinh t"