%------------------------------------------------------------------------
%               Matematicka analyza KMA/MA1a - vety a dokazy
%------------------------------------------------------------------------
%               Zostavil Robert Novotny, r.novotny@szm.sk
%------------------------------------------------------------------------
%              Vyrobene pre potreby KGA/ITM. Build 17.11.2002
%------------------------------------------------------------------------
\documentstyle{amsppt}
%
\NoBlackBoxes %vypnime "overfull hbox" stvorceky
%
%
\define\NN{\Bbb N}
\define\RR{\Bbb R}
\define\QQ{\Bbb Q}
\define\ZZ{\Bbb Z}
\font\chapfont=csbx10 scaled \magstep2
\font\secfont=csbx10 scaled \magstep1
\def\postup#1{\left\{#1\right\}}
\def\limpostup{\lim\limits_{n \to \infty}}
%
\def\proclaimfont{\sl}
%
%Nasledovne prikazy specifikuju slovensku formu
%niektorych pismen s makcenom (standardny prikaz
%\v v tychto pripadoch vyzera hnusne). Pouzite
%na miestach, kde vypadava diakritika (neviem preco)
%ako napr \topmatter .. \endtopmatter
\def\mt{t\kern-0.035cm\char39\kern-0.03cm} %makke t
\def\ml{l\kern-0.035cm\char39\kern-0.03cm} %makke l
\def\md{d\kern-0.035cm\char39\kern-0.03cm} %makke d
\def\mL{L\kern-0.08cm\char39} %makke L
%
%----------------------------INTROITUS----------------------------------
\NoRunningHeads %nechceme zahlavia a paticky
%
\topmatter
\title Ohrani�en� mno�iny. Postupnosti\endtitle
% vo fonte \sc asi nefuguje priama diakritika (aspon u mna), preto to
% urobime takto
\author Zostavil R\'{o}bert Novotn\'{y}, {\tt r.novotny\@szm.sk} \endauthor
\date 17. novembra 2002 \enddate
%
%Definujeme slovensky text pre abstrakt
%\smc - smallcaps font, lebo \sc nefunguje. Vycitane z amsppt.sty.
%diakritika ani tu nefunguje
\abstract\nofrills{\smc Abstrakt.}
V tomto dokumente uv\'{a}dzame preh\ml ad defin\'{\i}ci\'{\i} a viet z
\v{c}ast\'{\i} Ohrani\v{c}en\'{e} mno\v{z}iny
a Postupnosti, ktor\'{e} boli odpredn\'{a}\v{s}an\'{e} na Pr\'{\i}rodovedeckej
fakulte UPJ\v{S} v Ko\v{s}iciach v zimnom semestri kurzu
Matematick\'{a} anal\'{y}za pre 1. ro\v{c}n\'{\i}k v akademickom roku 2000/2001.
(predn\'{a}\v{s}al RNDr. \v{S}tefan Kulcs\'{a}r, CSc.)
\endabstract
\endtopmatter
\newpage
%---------------------KONIEC INTROITU----------------------------
\document
%
%
% v mojom AMSTeX-u z neznamych pricin nefunguje diakritika v \head..\endhead,
% preto ju musim uviest takto
\head Ohrani\v{c}en\'{e} mno\v{z}iny \endhead
%
\definition{Defin�cia}
Mno�inu $\emptyset \neq M \subset \RR$ naz�vame ohrani�enou zdola [ohrani�enou zhora],
ak plat�:
$$\exists k_1 \in \RR: \forall x \in M: k_1 \leq x\ [k_1 \geq x]$$
Ka�d� ��slo $k_1$ s touto vlastnos�ou naz�vame doln�m ohrani�en�m mno�iny $M$.

Z defin�cie je zrejm�, ak $k_1$ je doln� ohrani�enie mno�iny, tak aj ka�d� ��slo men�ie
ako $k_1$ je doln� ohrani�enie mno�iny.
\enddefinition
%
\definition{Defin�cia}
Mno�inu $\emptyset \neq M \subset \RR$ naz�vame ohrani�enou, ak je ohrani�en�
zdola aj zhora.

Mno�inu $\emptyset \neq M \subset \RR$ naz�vame neohrani�enou [neohrani�enou zdola,
neohrani�enou zhora], ak nie je ohrani�en� [nie je ohrani�en� zdola, nie je ohrani�en�
zhora].
\enddefinition
%
\definition{Defin�cia}
Majme mno�inu $\emptyset \neq M \subset \RR$. ��slo $x_0 \in M$ naz�vame maximum [minimum]
mno�iny $M$, ak
$$\forall x \in M: x\leq x_0\ [x \geq x_0]$$
\enddefinition
%
\proclaim{Veta (o ohrani�enosti)}
Nech $\emptyset \neq M \subset \RR$. Mno�ina $M$ je ohrani�en� pr�ve vtedy, ke�
$$\exists k \in \RR^+: \forall x \in M: |x|\leq k$$
Mno�ina $M$ je neohrani�en� pr�ve vtedy, ke�
$$\forall k \in \RR^+: \exists x \in M: |x|\geq k$$
\endproclaim
%
\subhead Supremum a infimum mno�iny \endsubhead
\definition{Defin�cia}
Supremum mno�iny $M$ je ��slo ($s = \sup M$), pre ktor� plat�:
\roster
\item $\forall x \in M: x \leq S$
\item $\forall t < S \ \exists x_0: x_0>t$
\endroster
Supremum je najmen�ie horn� ohrani�enie mno�iny $M$.
\enddefinition
%
\proclaim{Veta (existencia a jednozna�nos� suprema)}
Nech $\emptyset \neq M \subset \RR$ a $M$ je ohrani�en� zhora. Potom existuje
jedin� ��slo $S \in \RR$, �e
\roster
\item $\forall x \in M: x \leq S$
\item $\forall t < S \ \exists x_0: x_0>t$
\endroster
\endproclaim
%
\proclaim{Veta (existencia a jednozna�nos� infima)}
Nech mno�ina $\emptyset \neq M \subset \RR$ a $M$ je ohrani�en� zdola. Potom existuje
jedin� ��slo $s \in \RR$, �e
\roster
\item $\forall x \in M: x \geq s$
\item $\forall t > s \ \exists x_0: x_0<t$
\endroster
\endproclaim
%
\remark{Pozn�mka}
��slo $s$ sp��aj�ce obe vlastnosti z predch�dzaj�cej vety, sa naz�va infimum
mno�iny $M$.
$$s=\inf M$$
Vidno, �e $\inf M$ je najv���ie doln� ohrani�enie mno�iny $M$. Podobne
ako supremum, infimum $M$ nemus� patri� do mno�iny $M$. Ak v�ak $\inf M \in M$,
potom $\inf M = \max M$.
\endremark
%-----------
\head \v{D}al\v{s}ie vlastnosti re\'{a}lnych \v{c}\'{i}siel \endhead
\proclaim{Veta (Archimedov princ�p)}
Mno�ina $\NN$ je zhora neohrani�en�.
\endproclaim
%
\proclaim{Veta (Archimedova vlastnos�)}
$$\forall a,b \in \RR; a > 0\ \exists n \in \NN: n \cdot a > b$$
\endproclaim
%
\proclaim{Veta}
Nech $A,B \neq 0$, $A \subset \RR$, $B \subset \RR$. Nech $A \subset B$, nech
$B$ je ohrani�en�. Potom
$$\align \sup A & \leq \sup B \\ \inf B & \leq \inf A \endalign$$
\endproclaim
%
\proclaim{Veta (o hustote racion�lnych ��sel medzi re�lnymi)}
Nech $a,b \in \RR \land a < b$. Potom existuje tak� $r \in \QQ$, �e
$$a < r < b$$
\endproclaim
%
\proclaim{Veta}
Nech $a, b \in \RR$ a nech $a < b$. Potom existuje tak� iracion�lne ��slo $r^*$,
�e $$a < r^* < b$$
\endproclaim
%
\proclaim{Veta (Cantorova veta o vlo�en�ch intervaloch)}
Nech intervaly $$I_n = \langle a_n, b_n) \subset \RR$$ s� ohrani�en� uzavret� intervaly.
Nech plat� $I_{n+1} \subset I_n$. Potom existuje aspo� jeden bod $x_0$, ktor�
je spolo�n� pre v�etky intervaly. Teda
$$x_0 \in \bigcap_{i=1}^n I_i$$
Ke� naviac maj� intervaly $I_n$ vlastnos�
$$\forall \epsilon >0 \ \exists I_n: b_n-a_n < \epsilon$$
potom $x_0$, ktor� je spolo�n� ka�d�mu intervalu, je jedin�.
\endproclaim

\subhead Mocnina s celo��seln�m exponentom \endsubhead\newline
Oper�cia n�sobenia a jej vlastnosti a veta o �plnej matematickej indukcii dovo�uje
definova� mocniny s prirodzen�m exponentom a pomocou neho aj pojem mocniny
s celo��seln�m exponentom.
%
\proclaim{Defin�cia}
Nech $x \in \RR$ a $n \in \NN$. ��slo $x^n$ dan� predpisom
$$\eqalign{x^1 &= x \cr x^n &= x^{n-1} \cdot x, n \geq 1}$$
naz�vame $n$-tou mocninou ��sla $x$.
\endproclaim
%
\proclaim{Defin�cia}
Pre $x \in \RR, x \neq 0: x^0 = 1$ a pre $n \in \NN: x^{-n}={1 \over x^n}$.
\endproclaim
%
\proclaim{Cvi�enie}
Nech $x \in \RR, x \neq 0$. Potom $x^n \cdot x^m = x^{m+n}$, pri�om $n,m \in \ZZ$.
\endproclaim
%
\proclaim{Veta}
Nech $a,b \in \RR, a \neq 0, b \neq 0, r, s \in \ZZ$. Potom plat�:
\roster
\item $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$
\item ${a^r \over a^s} = a^{r-s}$
\item $a^r \cdot b^r = (ab)^r$
\item $\frac{a^r}{b^r} = (\frac{a}{b})^r$
\item $(a^r)^s = a^{r \cdot s}$
\item ak $0 < a < b$ a $r>0$, potom $a^r < b^r$
\item ak $0 < a < b$ a $r>0$, potom $a^r > b^r$
\item ak $a >1, r<s$, potom $a^r < a^s$. Ak $0 < a < 1$ a $r<s$, tak $a^r >a^s$.
\endroster
\endproclaim
%
\proclaim{Defin�cia}
Pre $a \in \RR, a \geq 0, n \in \NN$ definujeme $\sqrt[n]{a}$ ako nez�porn� ��slo
$x$ tak�, �e pre $x$ plat�:
$$\align
x^n & = a\\
x & = \root n \of a = a^{\frac{1}{n}}
\endalign$$
\endproclaim
%
\proclaim{Veta (o existencii a jednozna�nosti $\root n \of a$)}
Pre ka�d� $a \in \RR, a \geq 0$ a pre ka�d� $n \in \NN$ existuje jedin� $x \in \RR$
tak�, �e plat�
$$x^n=a \text{\quad pri�om } x \geq 0$$
\endproclaim
%
\remark{Pozn�mka}
Ke� $n \in \NN$, $n$ je nez�porn� a $a<0$, potom rovnica $x^n=a$ m� pr�ve jedno
rie�enie:
$$- \root n \of {|a|}$$
Definujeme preto $\root n \of n, a<0$ ako
$$\root n \of a = - \root n \of {|a|}$$
\endremark
%
\definition{Defin�cia}
Ke� $a>0, a \in \RR, s \in \QQ, s=\frac{m}{n}, m \in \ZZ, n\in\NN$. Definujeme
$$a^s = a^{\frac{m}{n}} = \root n \of {a^m}$$
\enddefinition
%
\subhead Mocniny s re�lnym exponentom \endsubhead
\definition{Defin�cia}
Nech $a \in \RR, a \geq 0, r \in \RR$.
\roster
\item ke� $a=1$, potom definujeme $a^r=1$
\item ak $a>1$, potom $a^r=\sup a^q, q \in \QQ, q \leq r$
\item ak $0<a<1$, potom $a^r=\left(\frac{1}{a}\right)^{-r} = \sup a^q, q \in \QQ, q \geq r$
\item ak $a=0, r=0$, potom $a^r=0 \Rightarrow 0^r = 0$. Nedefinujeme $0^0$ (je to neur�it� v�raz).
\endroster
\enddefinition
%
\remark{Pozn�mka}
Pre mocniny s celo��seln�m exponentom ost�va defin�cia v platnosti aj pre ka�d� $a,b \in \RR, a>0,
b>0$ a pre ka�d� $r,s \in \RR$.
\endremark
%
%Tu ma byt logaritmus..
\head Postupnosti \endhead
\definition{Defin�cia}
Nech ka�d�mu ��slu $n \in \NN$ je priraden� re�lne ��slo $a_n$. Potom hovor�me,
�e je dan� postupnos� ��sel (skr�tene postupnos�). Ozna�uje,e
$$\{a_1,a_2,\dots,a_n\} \qquad \{a_n\}_{n=1}^\infty \qquad \{a_n\}_1^\infty \qquad a_n, n \in \NN$$
kde $a_n$ je $n$-t� �len postupnosti, $n$ je index �lena $a_n$.\newline
Vo v�eobecnosti nemus� plati�, �e $a_i=a_j$, ak $i=j$.\newline
Kon�tantn� (stacion�rna) postupnos�:
$$\forall i \in \NN, c \in \RR: a_i=c$$
\enddefinition
Sp�soby ur�enia postupnosti:
\roster
\item formulou, ktor� dovo�uje vypo��ta� �ubovo�n� �len postupnosti pod�a jeho indexu.
Napr.
$$a_n = \frac{1}{n}, n \in \NN \qquad \{\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots,\frac{1}{n}\}
\qquad \postup{\frac{1}{n}}_{n=1}^\infty \qquad \postup{\frac{1}{n}}_1^\infty$$
\item pomocou mno�iny �lenov postupnosti.\newline
Napr.
$$a_{2n-1}=\frac{1}{2n}, a_{2n}=\frac{1}{2n-1}, n \in \NN \qquad
\frac{1}{2},1,\frac{1}{4},\frac{1}{3},\dots,\frac{1}{2n},\frac{1}{2n-1},\dots$$
Alebo
$$a_n=(-1)^n \qquad \{-1,1,-1,1,\dots,(-1)^n\} \qquad \postup{(-1)^n}_1^\infty$$
\item rekurentn�m vz�ahom -- v�po�et �lena postupnosti pomocou zn�mych predch�dzaj�cich
�lenov.\newline
Napr. aritmetick� postupnos�:
$$\align
a_{n+1}&=a_n+d, n \in \NN, \text{kde $d$ je diferencia}\\
a_1 &= a, a \in \RR\\
a_2 &= a_1+d = a+d\\
a_3 &= a_1+2d\\
&\vdots\\
a_n &= a+(n-1)d, n \in \NN
\endalign$$
\item op�san�m jej �lenov
$a_n$ je v porad� $n$-t� prvo��slo. $a_1=3, a_2=5, a_3=7$, $\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$ je
nekone�n� spo��tate�n� mno�ina.
\endroster
\subhead Geometrick� zobrazenie postupnosti \endsubhead
\roster
\item bodmi $[n,a_n], n \in \NN$. V euklidovskej rovine zobraz�me diskr�tne body.
\item bodmi na ��selnej osi.
\endroster
Keԧe mno�ina �lenov je nekone�n� (nanajv�� spo��tate�n�), nem��eme zn�zorni� cel�
postupnos�, m��eme v�ak zachyti� niektor� z�konitosti a pribl��i� niektor� �vahy.
%
\subhead Oper�cie s postupnos�ami\endsubhead\newline
Nech s� dan� dve postupnosti $a_n$, $b_n$. Potom
\roster
\item s��et postupnost�:\quad $\postup{a_n+b_n}_1^\infty$
\item rozdiel postupnost�:\quad $\postup{a_n-b_n}_1^\infty$
\item s��in postupnost�:\quad $\postup{a_n\cdot b_n}_1^\infty$
\item podiel postupnost�:\quad $\postup{\frac{a_n}{b_n}}_1^\infty$
\item rovnos� postupnost�:\quad Postupnosti $a_n$, $b_n$ s� rovnak�, ak $\forall n \in \NN:
a_n=b_n$ (z�le�� na porad� �lenov)
\endroster
%
\remark{Pozn�mka}
Ka�d� ��seln� postupnos� ur�uje mno�inu re�lnych ��sel, ktor� re�lne ��sla,
vystupuj�ce ako �leny tejto postupnosti. Dve r�zne postupnosti m��u ur�ova� t� ist�
mno�inu �lenov, ale nemusia sa rovna�. Z defin�cie postupnosti �alej vieme, �e
ide o nekone�n� postupnos�. Napriek tomu v�ak mno�ina �lenov postupnosti m��e by� kone�n�,
napr. $\postup{(-1)^n}_1^\infty$ m� mno�inu �lenov $\{-1,1\}$.
\endremark
%
\subhead Ohrani�en� a monot�nne postupnosti\endsubhead
\definition{Defin�cia}
Postupnos� $a_n$ naz�vame ohrani�enou zdola [ohrani�enou zhora], ak je ohrani�en�
zhora [ohrani�en� zdola] mno�ina �lenov tejto postupnosti.\newline
Postupnos� $a_n$ naz�vame neohrani�enou zdola [neohrani�enou zhora], ak nie je ohrani�en�
zhora [nie je ohrani�en� zdola] mno�ina �lenov tejto postupnosti.
\enddefinition
%
\proclaim{Veta}
Postupnos� $a_n$ je ohrani�en� zhora, ak
$$\exists k_1 \in \RR: \forall n \in \NN: a_n \leq k_1$$
Postupnos� $a_n$ je ohrani�en� zdola, ak
$$\exists k_2 \in \RR: \forall n \in \NN: a_n \geq k_2$$
\endproclaim
%
\proclaim{Veta}
Postupnos� $a_n$ je ohrani�en� pr�ve vtedy, ke�
$$\exists k \in \RR^+: \forall n \in \NN: |a_n|\leq k$$
\endproclaim
%
\definition{Defin�cia}
Postupnos� $a_n$ naz�vame rast�cou [klesaj�cou], ak $\forall n \in \NN: a_n < a_{n+1}$
[$\forall n \in \NN: a_n > a_{n+1}$]. Rast�ce a klesaj�ce postupnosti naz�vame
r�dzomonot�nne postupnosti.\newline
Postupnos� $a_n$ naz�vame neklesaj�cou [nerast�cou], ak $\forall n \in \NN: a_n \leq a_{n+1}$
[$\forall n \in \NN: a_n \geq a_{n+1}$]. Nerast�cu, resp. neklesaj�cu postupnos�
naz�vame monot�nna.
\enddefinition
%
\remark{Pozn�mka}
Ohrani�en� postupnos� nemus� by� monot�nna. Takisto monot�nna postupnos� nemus� by�
ohrani�en�.
\endremark
%
\subhead Supremum a infimum postupnosti \endsubhead
\definition{Defin�cia}
Supremum [infimum] postupnosti $a_n$ je supremum [infimum] mno�iny �lenov tejto
postupnosti.
$$\align
\sup_n a_n &= \sup\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\\
\inf_n a_n &= \inf\{a_1,a_2,\dots,a_n\}
\endalign$$
\enddefinition
%
\remark{Pozn�mka}
Vzh�adom na vlastnosti suprema a infima ��selnej mno�iny a vetu o infime plat�:\newline
$\bullet$\ \ ��slo $a$ je supremom postupnosti $a_n$, ak plat�:
\roster
\item $\forall n \in \NN: a_n \leq a$
\item $\forall \epsilon\geq0\ \exists n_0 \in \NN: a_{n_0} \geq a - \epsilon$
\endroster
$\bullet$\ \ ��slo $b$ je infimom postupnosti $a_n$, ak plat�:
\roster
\item $\forall n \in \NN: a_n \geq b$
\item $\forall \epsilon\geq0\ \exists n_0 \in \NN: a_{n_0} \leq b - \epsilon$
\endroster
\endremark
%
\subhead Limita postupnosti \endsubhead
\definition{Defin�cia}
��slo $a$ je limitou postupnosti $\postup{a_n}_1^\infty$, ak
$$\forall \epsilon >0 \ \exists n_0(\epsilon): \forall n \in \NN: n \geq n_0(\epsilon):
|a_n-a|<0$$
P��eme: $\lim\limits{n \to \infty} a_n = a$, resp. $a_n \to a, n \to \infty$.
Pod�a defin�cie teda:
$$\lim_{n \to \infty} a_n = a \Leftrightarrow \forall \epsilon>0 \ \exists n_0(\epsilon):
n > n_0(\epsilon): |a_n-a|<\epsilon$$
Postupnos�, ktor� m� limitu (tzv. vlastn�, teda limitou je re�lne ��slo) naz�vame
konvergentn�. Postupnos�, ktor� nem� limitu, sa naz�va divergentn� (osciluj�ca) --
�iadne re�lne ��slo nie je jej limitou.
\enddefinition
%
\subhead Nevlastn� limita postupnosti \endsubhead
\definition{Defin�cia}
Hovor�me, �e postupnos� $\postup{a_n}$ m� nevlastn� limitu ($+\infty$, resp. $\infty$),
ak
$$\forall k \in \RR \exists n_0(k) \in \RR: \forall n > n_0: n \in \NN: a_n > k
\text{(resp. $a_n < k$}$$
Potom p��eme:
$$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty (\text{resp. $-\infty$}) \qquad a_n \to \infty, n \to \infty
\qquad a_n \to -\infty, n \to \infty$$
\enddefinition
%
\remark{Pozn�mka}
Je jasn�, �e v predch�dzaj�cej defin�cii pri limite $a_n$ sta�� zobra� re�lne ��slo $k>0$.
To umo��uje v niektor�ch pr�padoch zjednodu�i� n�jdenie ��sla $n_0(k)$.
\endremark
%
\subhead Z�kladn� vety o limit�ch \endsubhead\newline
Z�kladn� vety o limit�ch platia pre postupnosti s vlastnou aj nevlastnou limitou.
%
\proclaim{Veta}
Ka�d� postupnos� m��e ma� najviac 1 limitu.
\endproclaim
%
\proclaim{Veta}
Nech $\postup{a_n}$ a $\postup{b_n}$ s� postupnosti, pre ktor� plat�:
$$\exists n_1 \in \NN: \forall n>n_1: a_n=b_n$$
Potom plat�:
\roster
\item ak $\postup{a_n}$ je ohrani�en�, tak aj $\postup{b_n}$ je ohrani�en�
\item $\lim\limits{n \to \infty} a_n=a \Longrightarrow \lim\limits{n \to \infty} b_n = b$,
pri�om $a \in R^*$ (t. j. $a$ je ��slo alebo $+\infty$ alebo $-\infty$.
\endroster
\endproclaim
%
\remark{Pozn�mka}
T�to veta hovor�, �e ohrani�enos� a limita postupnosti nez�le�� od kone�n�ho po�tu
jej �lenov. Vlastnosti postupnost� (ohrani�enos�, konvergencia, divergencia, hodnota
limity) sa nezmenia, ak prid�me, vynech�me, �i zmen�me kone�n� po�et jej �lenov.\newline
Predpis, ktot�m je dan� $n$-t� �len postupnosti, m��e by� niekedy tak�, �e n�m nie
s� ur�en� v�etky �leny postupnosti.
$$a_n = \frac{1}{(n-1)(n-2)(n-3)}, n \in \NN \setminus \{1,2,3\}$$
Veta dovo�uje doplni� tieto �leny akoko�vek.
\endremark
%
\remark{D�sledok}
Vo v���ine �al�ch viet, kde predpoklad�me, �e nie�o plat� pre $\forall n \in \NN$, mo�no
tento predpoklad nahradi� predpokladom $\forall n>n_1$, kde $n,n_1 \in \NN$. Dokonca
postupnos� ani nemus� by� definovan� pre kone�n� po�et �lenov.
\endremark
%
\proclaim{Veta}
Nech $\lim_{n \to \infty} a_n=a$. Potom limita $\postup{b_n}$ sa rovn� 0 pr�ve vtedy,
ke� $\forall n \in \NN: b_n=a_n-a$.
\endproclaim
%
\proclaim{Veta}
$$\lim_{n \to \infty} a_n = 0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} |a_n| = 0$$
\endproclaim
%
\proclaim{Veta}
$$\lim_{n \to \infty} a_n = a \Rightarrow \lim_{n \to \infty} |a_n| = |a|$$
pri�om $a \in \RR^*$.
\endproclaim
%
\proclaim{Veta}
$$\lim_{n \to \infty} = -\infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty} |a_n| = +\infty$$
\endproclaim
%
\remark{Pozn�mka}
Posledn� veta vo v�eobecnosti naopak neplat�. Ak existuje limita postupnosti $\postup{|a_n|}$,
potom vo v�eobecnosti nemus� existova� limita postupnosti $\postup{a_n}$.
\endremark
%
\subhead S�vislosti medzi ohrani�enos�ou, monot�nnos�ou a existenciou limity \endsubhead
\proclaim{Veta (nutn� podmienka konvergencie)}
Ak postupnos� $\postup{a_n}$ je konvergentn�, tak je ohrani�en�.
\endproclaim
%
\remark{Pozn�mka}
Obr�ten� veta vo v�eobecnosti neplat� -- nie ka�d� ohrani�en� postupnos� je konvergentn�.
(napr. $\postup{(-1)^n}_1^\infty$).
\endremark
%
\proclaim{Veta}
Nech $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty [-\infty]$. Potom $\postup{a_n}$ je ohrani�en�
zdola [ohrani�en� zhora] a nie je ohrani�en� zhora [nie je ohrani�en� zdola].
\endproclaim
%
\proclaim{Veta (posta�uj�ca podmienka konvergencie)}%
Ka�d� monot�nna a ohrani�en� postupnos� je konvergentn�.
\endproclaim
%
\remark{Pozn�mka}
Inak povedan�, plat� veta: Ka�d� monot�nna postupnos� ��sel m� limitu -- vlastn�
alebo nevlastn�. T�to limita je vlastn� pr�ve vtedy, ak $\postup{a_n}$ je ohrani�en�.
Potom plat�:
$$\lim_{n \to \infty} a_n = \sup a_n \qquad \text{resp.} \qquad
\lim_{n \to \infty} a_n = \inf a_n$$
Ak $\postup{a_n}$ je neohrani�en� a neklesaj�ca [nerast�ca], potom
$\lim_{n \to \infty} = \infty [-\infty]$.
\endremark
%
\definition{Defin�cia}
Limitu postupnosti $$\postup{1+\frac{1}{n}}_1^\infty$$ ozna��me ako $e$ (Eulerovo
��slo). Pre $e$ plat�: $e \in I_R$, $e=2{,}718\dots$.
\enddefinition
%
\subhead Vety o limite s��tu a s��inu \endsubhead
\proclaim{Veta}
Nech postupnosti $\postup{a_n}$, $\postup{b_n}$ s� konvergentn�. Potom plat�:
\roster
\item $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \lim\limits_{n \to \infty} a_n +
\lim\limits_{n \to \infty} b_n$
\item $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = \lim\limits_{n \to \infty} a_n \cdot
\lim\limits_{n \to \infty} b_n$
\item $\lim\limits_{n \to \infty} \gamma \cdot b_n = \gamma \cdot
\lim\limits_{n \to \infty} b_n$, $\gamma \in \RR$
\item $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim\limits_{n \to \infty} a_n}%
{\lim\limits_{n \to \infty} b_n}$, kde $\lim\limits_{n \to \infty} b_n \neq 0$
\endroster
\endproclaim
%
\proclaim{Lema 1}
Nech $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \lim\limits_{n \to \infty} b_n = 0$. Potom
$$\lim_{n \to \infty} (a_n+b_n) = 0$$
\endproclaim
%
\proclaim{Lema 2}
Nech $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$ a $\postup{b_n}$ je ohrani�en�. Potom
$$\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = 0$$
\endproclaim
%
\proclaim{Lema 3}
Nech $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a$ a pre $p$, $q$ nech plat� $p<a<q$. Potom
existuje prirodzen� ��slo $n_0(p,q)$ ($n_0$ je z�visl� od $p$, $q$) tak�, �e
$$\forall n>n_0(p,q): p<a_n<q$$
�peci�lne pre $a>0$ je pre $n>n_0$ ($n$ je dostato�ne ve�k�)
$$a_n \geq \frac{a}{2}>0$$
Pre $a<0$ je pre $n>n_0$
$$a_n \leq \frac{a}{2}<0$$
Pre $a=0$ je pre $n>n_0$
$$|a_n|\geq|a|>0$$
\endproclaim
%
\remark{Pozn�mka}
Toto tvrdenie je v �peci�lnych pr�padoch nasledovn�:
Ke� limita je kladn� [z�porn�], potom v�etky �leny postupnosti od ist�ho indexu
$n>n_0$ s� kladn� [z�porn�].\newline
Ak je limita nenulov�, potom  potom v�etky �leny postupnosti od ist�ho indexu
$n>n_0$ s� nenulov�.
\endremark
%
\proclaim{Lema 4}
Nech $\lim\limits_{n \to \infty} b_n = b$, $b\neq 0$, pri�om $\forall n \in \NN: b_n \neq 0$.
Potom plat�:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_n}=\frac{1}{b}$$
\endproclaim
%
\proclaim{Lema 5}
Ak postupnos� $\postup{a_n}$ je zdola ohrani�en� [zhora ohrani�en�] a
$\lim\limits_{n \to \infty} b_n = +\infty [-\infty]$, tak
$$\lim_{n \to \infty} (a_n+b_n) = +\infty [-\infty]$$
\endproclaim
%
\proclaim{Lema 6}
Nech $\forall n \in \NN: a_n \geq \alpha >0$ a $\lim\limits_{n \to \infty} = +\infty [-\infty]$.
Potom
$$\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = +\infty [-\infty]$$
%
Nech $\forall n \in \NN: a_n \leq \beta <0$ a $\lim\limits_{n \to \infty} = +\infty [-\infty]$.
Potom
$$\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = -\infty [+\infty]$$
%
Ak $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = +\infty\ [-\infty]$ a
$\lim\limits_{n \to \infty} b_n = +\infty\ [-\infty]$, potom
$$\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = +\infty$$
%
Ak $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = +\infty\ [-\infty]$ a
$\lim\limits_{n \to \infty} b_n = -\infty\ [+\infty]$, potom
$$\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = -\infty$$
\endproclaim
%
\proclaim{Lema 7}
Nech $\lim\limits_{n \to \infty} |b_n|=+\infty$, pri�om $\forall n \in \NN: b_n \neq 0$.
Potom $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_n}=0$$
�peci�lne:\newline
Nech $\lim\limits_{n \to \infty} b_n=+\infty\ [-\infty]$,
pri�om $\forall n \in \NN: b_n \neq 0$.
Potom $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_n}=0$$
\endproclaim
%
\proclaim{Lema 8}
Nech $\lim\limits_{n \to \infty} b_n=0$ a $\forall n \in \NN: b_n \neq 0$.
Potom
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_n}=
\cases
+\infty & \text{ak $\forall n \in \NN: b_n >0$}\cr
-\infty & \text{ak $\forall n \in \NN: b_n <0$}
\endcases
$$
\endproclaim
%
\proclaim{Veta}
$$\lim_{n \to \infty} a^n = \cases +\infty,& \text{ak $a>1$} \\ 0 & \text{ak $0<a<1$}\endcases$$
\endproclaim
%
\subhead Limitn� prechod k nerovnosti \endsubhead
%
\proclaim{Veta}
Nech postupnosti $\postup{a_n}$, $\postup{a_n}$ s� konvergentn�. Ak $\forall n \in \NN:
a_n \leq b_n$, potom
$$\lim_{n \to \infty} a_n \leq \lim_{n \to \infty} b_n$$
\endproclaim
%
\remark{Pozn�mka}
Treba si v�imn��, �e ke� medzi dvoma �lenmi postupnost� je ostr� nerovnos�, m��u
by� limity postupnost� rovnak�.\newline
Limitn� prechod zachov�va neostr� nerovnos�, ale ostr� nerovnos� sa nemus� zachova�.
\endremark
%
\remark{D�sledok}
Ak postupnos� $\postup{a_n}$ je konvergentn� a jej �leny patria do intervalu
$\langle a,b \rangle$, potom aj $\lim\limits_{n \to \infty} a_n \in \langle a,b \rangle$.\newline
Ak postupnos� $\postup{a_n}$ je konvergentn� a jej �leny patria do intervalu
$(a,b)$, potom aj $\lim\limits_{n \to \infty} a_n \in \langle a,b \rangle$.\newline
\endremark
%
\proclaim{Veta}
Nech $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a$, $a \in \RR$ a nech $\lim\limits b_n = b$, $b \in \RR$.
Ak $a<b$, tak existuje ��slo $n_1$, �e $\forall n>n_1: a_n \leq b_n$.
\endproclaim
Nasledovn� veta, naz�van� \uv{veta o policajtoch}, \uv{zmad�g�vacia veta}, �i
\uv{sendvi�ov� veta}, umo��uje zo znalosti limity dvoch postupnost� ur�i� limitu tretej
postupnosti.
%
\proclaim{Veta}
Nech postupnosti $\postup{a_n}$, $\postup{b_n}$, $\postup{c_n}$ s� konvergentn� a maj�
nasledovn� vlastnosti.
\roster
\item $\forall n \in \NN. a_n\leq c_n \leq b_n$
\item $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = c = \lim\limits_{n \to \infty} b_n$
\endroster
Potom aj postupnos� $\postup{c_n}$ je konvergentn� a plat�:
$$\lim_{n \to \infty} c_n = c$$
\endproclaim
%
Inak povedan�, plat� veta:
%
\proclaim{Veta}
Nech $\limpostup a_n = a = \limpostup b_n$ a nech $\exists n_1\in \NN \forall n > n_1:
a_n \leq c_n \leq b_n$. Potom existuje limita $\limpostup c_n = a$.
\endproclaim
%
\proclaim{Veta}
Ak plat�, �e $\limpostup a_n = +\infty\ [-\infty]$ a $\forall n \in \NN: b_n > a_n \
[b_n < a_n]$, tak
$$\limpostup b_n = +\infty\ [-\infty]$$
\endproclaim
%
Nasledovn� tvrdenia uv�dzame bez d�kazu pre �plnos�:
\proclaim{Veta}
Ak $\postup{a_n}$ je konvergentn� a $\forall n \in \NN: a_n \geq 0$, $\lambda > 0$,
$\lambda \in \RR$, tak plat�
$$\limpostup a_n^\lambda = (\limpostup a_n)^\lambda$$
\endproclaim
%
\proclaim{Veta}
Ak postupnos� $\postup{\lambda_n}$ je konvergentn�, a $a >0$, $a \in \RR$, tak plat�:
$$\lim a^{\lambda_n} = a^{\limpostup \lambda_n}$$
\endproclaim
%
\definition{Defin�cia}
Nech je dan� postupnos� $\postup{a_n}$ a �al�ia, rast�ca postupnos� prirodzen�ch ��sel
$\postup{k_n}$. Potom postupnos� $\postup{a_{k_n}}$ naz�vame vybranou postupnos�ou
z postupnosti $\postup{a_n}$ pomocou postupnosti $\postup{k_n}$.
\enddefinition
%
\remark{Pozn�mka}
Po�iadavka, �e postupnos� $\postup{k_n}$ je rast�ca, je podstatn�. Ak by
platilo, �e $\forall n \in \NN: k_n = n_0$, potom by pr�slu�n� vybran� postupnos� bola
stacion�rna. O~takejto postupnosti niekedy nem� zmysel hovori�, �e je vybranou postupnos�ou
z $\postup{a_n}$.

Ke� $\postup{k_n}$ je rast�ca postupnos� prirodzen�ch ��sel, tak plat�, �e
$\forall n \in \NN: k_n \geq n$, teda $\limpostup k_n = +\infty$.
\endremark
%
\proclaim{Veta (o vybran�ch postupnostiach)}
Ak postupnos� $\postup{a_n}$ m� vlastn� alebo nevlastn� limitu, tak ka�d� z nej
vybran� postupnos� m� t� ist� limitu.
\endproclaim
%
T�to vetu m��eme pou��va� pre d�kaz existencie aj neexistencie limity (teda pre
d�kaz konvergencie, resp. divergencie).
%
\proclaim{Veta (vybran� postupnos� z neohrani�enej)}
Z ka�dej neohrani�enej postupnosti mo�no vybra� postupnos� s nevlastnou limitou
\endproclaim
%
\proclaim{Veta (Cantorova)}
Nech postupnos� intervalov $I_n = \langle a_n,b_n \rangle \subset \RR$ je tak�, �e plat�:
\roster
\item $\forall n \in \NN: I_{n+1} \subset I_n$
\item $\limpostup (b_n - a_n) = 0$
\endroster
Potom existuje jedin� bod $x_0$, tak�, �e $$x_0 \in \bigcap_{i=1}^\infty I_n$$
\endproclaim
%
\proclaim{Veta (Bolzanova-Weierstrassova)}
Z ka�dej ohrani�enej postupnosti sa d� vybra� konvergentn� postupnos�.
\endproclaim
%
\remark{Pozn�mka}
Pod�a poslednej vety, ke� m� postupnos� $\postup{a_n}$ limitu, potom t� ist�
limitu m� ka�d� z nej vybran� postupnos�. Ak $\postup{a_n}$ je divergentn�,
potom z nej vybran� postupnosti m��u ma� r�zne limity.
\endremark
%Preskocime cast o limes superior [limes inferior]
\subhead Fundament�lne postupnosti \endsubhead
%
\definition{Defin�cia}
Postupnos� $\postup{a_n}$ naz�vame fundament�lnou (Cauchyovskou), ke� vyhovuje
nasledovnej podmienke (naz�vanej Bolzanova-Cauchyho podmienka).
$$\forall \epsilon>0\ \exists n_0: \forall m>n_0: |a_n - a_m| < \epsilon$$
\enddefinition
%
\proclaim{Lema 1}
Ak je postupnos� $\postup{a_n}$ konvergentn�, tak je fundament�lna.
\endproclaim
%
\proclaim{Lema 2}
Ak je postupnos� $\postup{a_n}$ fundament�lna, tak je ohrani�en�.
\endproclaim
%
\proclaim{Lema 3}
Ak je postupnos� $\postup{a_n}$ fundament�lna, tak je konvergentn�.
\endproclaim
%
\proclaim{Veta (Bolzano-Cauchyho krit�rium konvergencie postupnosti)}
Postupnos� $\postup{a_n}$ je konvergentn� pr�ve vtedy, ke� je fundament�lna.
\endproclaim
%
\proclaim{Veta (in� tvar BC-krit�ria)}
Postupnos� $\postup{a_n}$ je fundament�lna pr�ve vtedy, ke�
$$\forall \epsilon>0\ \exists n_0: \forall n>0, \forall p \in \NN: |a_{n+p} - a_n| < \epsilon$$
\endproclaim
%

\enddocument