\documentclass[12pt,a4paper,conteqnno,thesislinespacing,thesismargins,thesischapterstyle]{rnthesis2}
\usepackage{slovak}
\usepackage{multirow}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{theorem}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{rotate}
\usepackage{amsbsy} %tucne pismena

%\setlength{\hoffset}{-1in}
%\setlength{\voffset}{-1in}
%\setlength{\evensidemargin}{3.4cm} %.1mm pre~\marginparsep
%\setlength{\oddsidemargin}{3.4cm} %.1mm pre~\marginparsep
%\setlength{\textwidth}{15cm}%21cm - 2.5cm - 3.4cm
%\setlength{\topmargin}{1cm}
%\setlength{\textheight}{24cm}

%\addtolength{\textwidth}{3cm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-1.3cm}
%\addtolength{\textheight}{3cm}
%\addtolength{\topmargin}{-1.5cm}

\def\vec#1{\boldsymbol{#1}}

\theorembodyfont{\normalfont}
%\newtheorem{df}{}
\theorembodyfont{\slshape}
\newtheorem{veta}{Veta}
\newtheorem{lema}{Lema}
\newenvironment{df}{\par}{\par}
%
\hfuzz=2pt
\def\MM{\ensuremath{\mathbf{M}}}
\def\RR{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\def\FF{\ensuremath{\mathbf{F}}}
\def\PP{\ensuremath{\mathbf{P}}}
\def\DD{\ensuremath{\mathbf{D}}}
\def\imp{\ensuremath{\Rightarrow}}
\def\CRS{{\rm CRS}}
\def\VRS{{\rm VRS}}
\def\matica#1{{\rm \textbf{#1}}}
\newcommand{\longeq}[1]{\mathop{=\!\!=}\limits^{\mbox{\scriptsize #1}} }
%
\let\sumori=\sum
\def\sum{\sumori\limits}
\let\maxori=\max
\def\max{\maxori\limits}
\let\minori=\min
\def\min{\minori\limits}
%
\let\epsilon=\varepsilon
\def\nulvek{\mathbf{0}}

\def\XX{\ensuremath{\mathbf{X}}}
\def\YY{\ensuremath{\mathbf{Y}}}

\def\median{\mathop{\rm median}\limits}
\def\baselinestretch{1.4}
\def\osoba#1{\textsc{#1}}
\def\qed{$\Box$}
\newenvironment{dokaz}
{\par\medskip\noindent\textit{D�kaz.}\par\nobreak\noindent
\ignorespaces}
{\par\nobreak\hfill\qed\par\medskip}

\newcommand{\pojem}[1]{{\itshape #1}}

\newenvironment{tabulka}[2]
{%
  \def\baselinestretch{1.2}%
  \begin{table}[!ht]%    
      %\begin{center}%
        \begin{scriptsize}%
          \caption{#2}%
          \medskip
          \begin{minipage}{\textwidth}
          \begin{tabular}{#1}
}
{      
          \end{tabular}
          \end{minipage}
        \end{scriptsize}
      %\end{center}    
  \end{table}
}
\newenvironment{minitabulka}[2]
{%
  \def\baselinestretch{1.2}%
  \begin{table}[!ht]%    
      \begin{center}%
        \begin{tiny}%
          \caption{#2}%
          \medskip
          \begin{tabular}{#1}
}
{      
          \end{tabular}
        \end{tiny}
      \end{center}    
  \end{table}
}
\def\tcell#1#2{
\parbox{#1}{\medskip\leavevmode#2\par\medskip}
}
\def\thead#1{{\it #1}}
\def\theadc#1{\multicolumn{1}{|c|}{\thead{#1}}}

\def\tstrut#1{%
\newcount\strutsizefactor
\strutsizefactor=#1
\newlength{\basestrutsize}
\setlength{\basestrutsize}{2cm}
\rule[-0.5\basestrutsize\strutsizefactor]{0cm}{1.5\basestrutsize\strutsizefactor}
}

\def\obrazok#1#2{%
\begin{figure}[!htb]
\ifpdf
  \centerline{\includegraphics{#1.pdf}}
\else
  \centerline{\includegraphics{#1.eps}}
\fi
\par
\centerline{\parbox{13cm}{\sl \caption{#2}}}
\end{figure}
}

\def\Obrazok#1#2{%
\def\baselinestretch{1}%
\par\bigskip
\ifpdf
  \centerline{\includegraphics{#1.pdf}}
\else
  \centerline{\includegraphics{#1.eps}}
\fi
\par
\addtocounter{figure}{1}
\centerline{\parbox{13cm}{\sl{\figurename\nobreakspace\thefigure\ \ #2}}}
\par\bigskip
}


\newenvironment{model}[1][model:x\theequation]{%
$$
\def\@currentlabel{123}
\refstepcounter{equation}
\label{#1}
\left.
\begin{array}{rclr}%
}%
{%
\end{array}
\right\}
(\theequation)%
$$
}
\makeatletter
%-----------------------------------------------------
%save global parindent value, because it may change in
%caption macros
\newdimen\gparindent 
\gparindent=\parindent
%
\long\def\@makecaption#1#2{%
  \vskip\abovecaptionskip
  \sbox\@tempboxa{\slshape #1 #2}%
  \ifdim \wd\@tempboxa >\hsize
    #1 #2\par
  \else
    \global \@minipagefalse
    \hb@xt@\hsize{%
      %indent hbox's contents by global parindent amount
      \hskip\gparindent\box\@tempboxa\hfil%
    }%
  \fi
  \vskip\belowcaptionskip
}
%---------
\renewcommand\tablename{Tab.}
\renewcommand\thetable{\@arabic\c@table}
\makeatother

\begin{document}
%
\author{Franti�ek Sudzina}
\title{DEA s~nepresn�mi d�tami}
\date{Ko�ice 2004}
\ustav{�stav matematick�ch vied}
\podakovanie{%
  R�d by som po�akoval ved�cej diplomovej
  pr�ce doc. RNDr. Katar�ne Cechl�rovej, CSc.
  za cenn� pripomienky a za obetavos� po�as
  tvorby diplomovej pr�ce.
}
\vfill
\maketitle
\newpage
\tableofcontents
\newpage
\setcounter{chapter}{0} %aby Uvod bol "0. Uvod"
\chapter*{�vod}\addcontentsline{toc}{chapter}{�vod}
%
Ekonomick� te�ria sk�ma okrem in�ch procesov aj transform�ciu
obmedzen�ch zdrojov (pr�ca, p�da, kapit�l) na~v�robky a slu�by.
V�robn� zdroje predstavuj� vstup do~transforma�n�ho procesu a
vyprodukovan� tovar a slu�by s� v�stupom. Jednotliv� vstupy a
v�stupy je mo�n� identifikova� a kvantifikova� u jednej ekonomickej
jednotky (s~rozli�nou mierou presnosti) a pri viacer�ch druhoch vstupov a
v�stupov ich pon�ma� ako vektor vstupov a vektor v�stupov. K���ovou
ot�zkou zost�va ur�enie hranice produk�n�ch mo�nost�, ktor�
predstavuje maximum tovarov a slu�ieb, ktor�
sa m��u vyprodukova� pri dan�ch v�robn�ch zdrojoch. V s�vislosti so~z�vislos�ou
v�stupov od vstupov hovor�me o~v�nosoch z~rozsahu, tie m��u by� kon�tantn�
alebo variabiln�. O~kon�tantn�ch v�nosoch z~rozsahu hovor�me, ak pri zv��en�
vstupov sa proporcion�lne zv��ia aj v�stupy, bez oh�adu na~to ko�ko u� produkujeme.
�astej�ie sa v~ekonomickej praxi stret�vame so~situ�ciou, ke� pri zvy�ovan�
vstupov do~istej �rovne rast� v�stupy nadproporcion�lne (rast�ce v�nosy 
z~rozsahu) a potom podproporcion�lne (klesaj�ce v�nosy z~rozsahu). Hovor�me o~
variabiln�ch v�nosoch z~rozsahu.

Ak existuje finan�n� ohodnotenie
v�etk�ch vstupov (n�kladov) a v�stupov (v�nosov), tak
ekonomick� efekt�vnos� predstavuje dosiahnutie definovan�ho cie�a
vo~finan�nom vyjadren�
pri najni���ch n�kladoch alebo dosiahnutie maxim�lneho pr�nosu pri
dan�ch n�kladoch. Ekonomick� efekt�vnos� je predmetom sk�mania ekonomickej
anal�zy. Napriek tomu, �e ekonomick� anal�za disponuje �irok�m a prepracovan�m
apar�tom ukazovate�ov rozli�n�ho druhu, existuj� �lohy, ktor� tak�mto
sp�sobom nie s� uspokojivo rie�ite�n�. Probl�mom toti� je predpoklad
existencie trhov�ch cien v�etk�ch vstupov aj v�stupov. V pr�pade, �e
neexistuje trhov� cena �o i len jedin�ho vstupu alebo v�stupu, nie je
mo�n� uskuto�ni� potrebn� v�po�et.

Zakladate�om te�rie technickej efekt�vnosti je (\osoba{Koopmans}, 1951).
Ekonomick� jednotka je definovan� ako efekt�vna, ak pre~jej
vstupno-v�stupn�
vektor plat�, �e nie je technologicky mo�n� zv��i� �iaden v�stup
pri danom objeme vstupov a naopak nie je mo�n� zmen�i� �iaden vstup pri
s��asnom zachovan� objemu v�stupov.

\osoba{Debreau} (1951) a nesk�r
\osoba{Farrell} (1957)
odvodili vstupne orientovan� indexy technickej efekt�vnosti
vyjadren� formou ekviproporcion�lnej (radi�lnej) redukcie v�etk�ch
vstupov pri danej �rovni v�stupov. Tieto indexy boli nesk�r
in�pir�ciou pre~\osoba{Charnesa} a i. (1978), \osoba{Bankera}
a i. (1984) a \osoba{F�rea} a
i. (1985, 1994), ktor� odvodili a nesk�r rozvinuli anal�zu obalu
�dajov (data envelopment analysis~-- DEA). Anal�za obalu �dajov je
technika, ktor� na~z�klade v�po�tu konvexn�ho obalu d�t v�etk�ch
hodnoten�ch ekonomick�ch jednotiek (ktor�ho s��as�ou je aj hranica produk�n�ch
mo�nost�) umo��uje
vypo��ta� ich relat�vnu efekt�vnos�. T�to technika sa stala ve�mi
popul�rnou pri v�po�te technickej efekt�vnosti, preto�e pomerne
jednoduch�m sp�sobom umo��uje zoh�adni� transform�ciu viacer�ch
vstupov na~viacero v�stupov. Nevy�aduje ur�enie ceny vstupov a v�stupov,
�o je v�hodn� pri neexistencii trhov�ch cien%
\footnote{Trhov� ceny nes� dokonal� inform�ciu pre~trh. Regulovan�,
fikt�vne alebo inak ur�en� ceny vo~v�eobecnosti nenes� dokonal� inform�ciu.
Stanovenie minim�lnych alebo maxim�lnych cien obmedzuje procesy vz�jomn�ho 
prisp�sobovania sa ponuky a dopytu, ��m zabra�uje dosiahnutiu ekvilibria,
teda m��e vies� i k~neefekt�vnej alok�cii zdrojov. Regulovan� ceny vzh�adom
na~svoju nepru�nos� prest�vaj� by� ukazovate�om vyjadruj�cim hodnotu hlavne
pri porovnan� s~ostatn�mi vstupmi a v�stupmi a to najm� v pr�padoch, ke�
s� tieto ocenen� trhov�mi cenami.
}
(najm� v~pr�pade, ke�
nevieme oceni� vz�jomn� v�hy vstupov a v�stupov) ani in�ch parametrov.
Pri tejto met�de nie je potrebn� vopred definova�
typ spr�vania ekonomickej jednotky
(maximaliz�cia zisku, resp. minimaliz�cia n�kladov).

Pomocou produk�nej funkcie mo�no ur�i� hranicu mno�iny produk�n�ch mo�nost�. 
V praxi v�ak konkr�tnu produk�n� funkciu nepozn�me, preto h�ad�me sp�soby ako
ju ur�i�. Existuj� dva pr�stupy -- parametrick� a neparametrick�. 
Parametrick� pr�stup, �asto ozna�ovan� aj ako ekonometrick�, je
zalo�en� na~tom, �e sa predpoklad� explicitn� vyjadrenie produk�nej funkcie,
ale nie s� zn�me parametre tohto vyjadrenia. M��e by� napr�klad zn�me,
�e ide o~Cobb-Douglesovu produk�n� funkciu, ale nie s� zn�me parametre
tejto funkcie. Parametre sa ur�ia z~nazbieran�ch �dajov napr�klad pomocou 
regresie. 
Nedostatkom pri tomto postupe je, �e pomocou regresie sa ur�� stred, lebo
sa predpoklad�, �e chyba m� norm�lne rozdelenie. Tento nedostatok rie�i
stochastic frontier regression (\osoba{Aigner}, \osoba{Lovell}, \osoba{Schmidt}, 1977), �o je
klasick� line�rna regresia, ale o~chybe sa predpoklad�, �e m� asymetrick�
(jednostrann�) rozdelenie.
Neparametrick� pr�stup, zast�pen� anal�zou obalu �dajov, 
nevy�aduje znalos� funk�nej formy, preto�e efekt�vnos� je meran� relat�vne 
k~v�etk�m organiza�n�m jednotk�m.

Anal�za obalu �dajov spo��va v~sk�man� pozorovan�ch d�t a bola
p�vodne navrhnut� pre~vyu�itie v~neziskov�ch organiz�ciach, kde s�ce
bola snaha fungova� efekt�vne, ale pri absencii kvantifik�cie
niektor�ch vstupov a v�stupov v~pe�a�nom vyjadren� nebolo mo�n� pou�i�
 ukazovatele ekonomickej anal�zy.

Prakticky sa uk�zalo, �e vhodn�m uplatnen�m anal�zy �dajov je napr. hodnotenie
investi�n�ch projektov (\osoba{Cook}, \osoba{Roll}, 1988), kde s� zn�me 
technick� a technologick�
str�nky procesov, ale kde existuje aj vysok� entropia t�kaj�ca sa
bud�cich cien vstupov i v�stupov. Pri tomto pou�it� sa jedn�
preva�ne o~vyl��enie dominovan�ch alternat�v. Mana��r m� n�sledne
zjednodu�en� rozhodovanie, preto�e mu sta�� pos�di� men�� po�et
projektov.

Pomocou anal�zy obalu �dajov je mo�n� rozhodova� aj o~�isto
technick�ch z�le�itostiach, ako je napr. v~automobilke Daimler Chrysler dimenzovanie
vstupn�ch kan�lov za ��elom optimaliz�cie prietoku a rot�cie (\osoba{Holzer},
1999), �i porovnanie n�strojov na~meranie pr�du vstupn�ch kan�lov u
valcov�ch hl�v (\osoba{Berrer}, 2002). Analogicky sl��i na vyl��enie dominovan�ch alternat�v a
umo��uje technikovi viac sa s�stredi� na kvalitat�vny v�ber.

�al��m mo�n�m vyu�it�m je hodnotenie pr�ce podriaden�ch
(\osoba{Epstein}, \osoba{Henderson}, 1989), kde sa
vyu��va skuto�nos�, �e podriaden� jedn�ho mana��ra maj� podobn�
pracovn� n�pl� a sp��aj� v~istom zmysle predpoklad homogenity.
V takomto pr�pade vstupy predstavuj� mzdu a in�
funk�n� p��itky zamestnancov. V�stupmi s� jednotliv� zlo�ky �innosti
zamestnanca.

V neposlednom rade sa anal�za obalu �dajov pou��va na~hodnotenie
efekt�vnosti podnikov v~danom odvetv� (podniky v~jednom odvetv�
vykon�vaj� relat�vne homog�nnu �innos�), napr. b�nk
(\osoba{Barr} a i., 1993; \osoba{Favero}, \osoba{Papi}, 1995)
alebo pois�ovn�
(\osoba{Brockett} a i., 1998; \osoba{Cummins}, \osoba{Zi} a i., 1998)
v~r�mci jedn�ho �t�tu, pobo�iek b�nk v~r�mci jednej banky 
(\osoba{Al-Faraj} a i., 1993; \osoba{Boufounou}, 1995;
\osoba{�ev�ovi�}, \osoba{Halick�}, \osoba{Brunovsk�}, 2001),
mliek�rn� (\osoba{Kacvinsk�}, 2001), nemocn�c (\osoba{Dlouh�}, 1999),
v�etk�ch katedier v~r�mci univerzity alebo katedier rovnak�ho zamerania medzi
univerzitami (\osoba{Johnes}, \osoba{Johnes}, 1993; 
\osoba{Sinuany-Stern} a i., 1994; \osoba{Annov�}, 1998). 
Je vhodn�m n�strojom na~pos�denie vhodnosti
organiza�n�ch zmien (\osoba{Metters}, \osoba{Vargas}, 1999).
D�vodom anal�zy efekt�vnosti
je zvy�ajne snaha identifikova� neefekt�vne ekonomick� jednotky s~�myslom
ich zru�i� alebo vykona� zmeny v~ich mana�mente so~z�merom, aby fungovali
efekt�vne.

Na Slovensku sa aplik�ciou a teoretick�m v�skumom anal�zy obalu �dajov
zaoberaj� \osoba{Fandel} (1998), \osoba{Sojka} (2001),
\osoba{�ev�ovi�}, \osoba{Halick�}, \osoba{Brunovsk�} (2001),
\osoba{Budinsk�}, \osoba{Dvo��k} a \osoba{Gran�ai} (2003).

Cie�om pr�ce je prezentova� met�dy vyhodnocovania efekt�vnosti ekonomick�ch jednotiek 
pomocou anal�zy obalu �dajov v~pr�pade nepresn�ch �dajov. Druh� kapitola je
zameran� na~intervalov� �daje. V tretej kapitole s� uveden� postupy na~rie�enie
probl�mu v~pr�pade ch�baj�cich d�t, ktor� s� ilustrovan� v~�tvrtej kapitole 
na~hodnotenie technickej efekt�vnosti vybran�ch slovensk�ch b�nk. 

\chapter{Anal�za obalu �dajov}
%
Majme $n$ samostatne sa rozhoduj�cich ekonomick�ch jednotiek,
pri�om ka�d� z~nich spracuv�va $m$ vstupov a produkuje
$w$ v�stupov; $\{x_{ij}\}$ je mno�stvo $i$-t�ho vstupu ($i = 1, \dots, m$)
jednotky $j$ a $\{y_{rj}\}$ je mno�stvo $r$-t�ho v�stupu ($r = 1, \dots, w$) 
jednotky $j$. D�le�it�m predpokladom pre~anal�zu obalu �dajov je, �e v�etky
ekonomick� jednotky vyu��vaj� rovnak�, bli��ie ne�pecifikovan�, technol�giu,
ktor� definuje mno�inu produk�n�ch mo�nost�.

Ekonomicky dobre interpretovate�n�m ukazovate�om na~hodnotenie efekt�vnosti
ekonomick�ch jednotiek je porovnanie ich v�konnosti
vo�i hranici%
\footnote{%
V pr�ci budeme pod hranicou rozumie�
($m+w-1$)-rozmern� �tvar v~$(m+w)$-rozmernom
priestore, ktor� zhora ohrani�uje mno�inu pr�pustn�ch kombin�ci�
vstupov a v�stupov, �i�e Paretovsky najlep��ch hodn�t produkcie.}
produk�n�ch mo�nost�. 
%----

Mno�ina pr�pustn�ch produk�n�ch mo�nost� je 
ur�en� ako konvexn�%
\footnote{Konvexnos� mno�iny
pr�pustn�ch produk�n�ch mo�nost� predpoklad�me, lebo s~ka�d�mi dvoma
ekonomick�mi jednotkami tam patria aj v�etky ich
konvexn� kombin�cie.}
mno�ina $\MM$:
$$
\MM = \left\{ \left( {\vec{x},\vec{y}} \right) \in \RR_+^m \times \RR_+^w 
\mid \mbox{zo vstupov $\vec{x}$ mo�no vyprodukova� v�stupy $\vec{y}$} \right\}.
$$

Produk�n� mo�nosti vstupu $\vec{x}$ s� rezom konvexnej 
mno�iny $\MM$, preto tvoria konvexn� mno�inu:
$$
\MM(\vec{x}) = \left\{ {\vec{y} \in \RR_+^w \mid (\vec{x},\vec{y}) \in \MM} \right\}.
$$

Mno�inu $\FF$ vytvor�me z~hrani�n�ch bodov mno�iny $\MM$ tak�ch, 
�e $\vec{x} > \vec{0}$ a $\vec{y} > \vec{0}$. 
Mno�ina $\FF$ naz�vame hranicou mno�iny pr�pustn�ch 
produk�n�ch mo�nost� $\MM$, resp. hranicou produk�n�ch 
mo�nost�. Hranicou mno�iny $\MM$(\textbf{\textit{x}}) je 
mno�ina:
$$
\FF(\vec{x}) = \left\{ \vec{y} \in \MM\left( \vec{x} \right) \mid \nexists\vec{y}'
\in \MM\left( \vec{x} \right):\vec{y}' \ge \vec{y}, \vec{y}' \ne \vec{y} \right\}
$$

Hranica $\FF(\vec{x})$ mno�iny $\MM(\vec{x})$ ur�uje mno�inu
Paretovsky najlep��ch hodn�t produkcie. 

Kv�li anal�ze technickej efekt�vnosti je potrebn� zostroji� 
mno�inu $\FF$. Len�e zozbieran� d�ta obsahuj� len s�bor 
$n$ napozorovan�ch ekonomick�ch jednotiek, tak sa mus�me
uspokoji� s~aproxim�ciou mno�iny $\FF$ pomocou aproxim�cie mno�iny $\MM$, preto�e
nepozn�me ani mno�inu $\MM$.

Mno�inu, ktorou budeme aproximova� 
mno�inu $\MM$ ozna��me $\MM_A$ (zrejme $\MM_A \subseteq\MM$). Bude to najmen�ia konvexn� 
mno�ina, ktor� m� tieto vlastnosti:

\begin{description}
\item[1. Bezplatn� likvid�cia] Ak je mo�n� vyr�ba� v�stup $\vec{y}$ pri
vstupe $\vec{x}$, potom je mo�n� vyr�ba� aj menej pri vy��om vstupe.
$$\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in \MM_A\ \forall \alpha, \beta:\quad(\vec{x} + \vec{\alpha},\vec{y} - \vec{\beta}) \in \MM_A,$$
kde $\vec{\alpha} = (\alpha_1, \dots, \alpha_m)$, $\vec{\beta} = (\beta_1, \dots, \beta_s)$ a 
$\alpha_1, \dots, \alpha_m, \beta_1, \dots, \beta_s \ge 0$.
%
\obrazok{1-1}{Bezplatn� likvid�cia v~modeli s~1 vstupom a 1 v�stupom}
\obrazok{1-2}{Bezplatn� likvid�cia v~modeli s~2 vstupmi a jednotkov�m v�stupom}
\obrazok{1-3}{Bezplatn� likvid�cia v~modeli s~2 v�stupmi a jednotkov�m vstupom}
%
\item[2. Proporcionalita]
Ak pri ve�kosti vstupu $\vec{x}$ je mo�n� produkova� v�stup $\vec{y}$, potom pri
proporcion�lne zmenenom vstupe $\vec{x'}$ bude mo�n� vyr�ba� pro\-por\-cion�lne
mno�stvo v�stupu $\vec{y'}$.
$$\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in \MM_A \ \forall \lambda \ge 0: \quad (\vec{x'}, \vec{y'}) = (\lambda \vec{x}, \lambda \vec{y}) \in \MM_A$$
T�to podmienka je ekvivalentn� s~ekonomick�m predpokladom
kon�tantn�ch v�nosov z~rozsahu.
%
\obrazok{1-4}{Proporcionalita v~modeli s~1 vstupom a 1 v�stupom}
%
\item[3. Aditivita]
Majme ekonomick� jednotku so~vstupom $\vec{x'}$ a v�stupom $\vec{y'}$ a in�
ekonomick� jednotku so~vstupom $\vec{x''}$ a v�stupom $\vec{y''}$. Potom
je mo�n� zo~vstupu $\vec{x'} + \vec{x''}$ vyr�ba� v�stup $\vec{y'} + \vec{y''}$.
$$\forall (\vec{x'}, \vec{y'}) \in \MM_A\ \forall (\vec{x''}, \vec{y''}) \in \MM_A: \quad (\vec{x'} + \vec{x''}, \vec{y'} + \vec{y''}) \in \MM_A$$
\end{description}
%
\obrazok{1-5}{Aditivita v~modeli s~1 vstupom a 1 v�stupom}
%

Ke�e po�adujeme, aby v�etky pozorovan� ekonomick� 
jednotky ($j$ = 1, \dots, $n)$ patrili do~$\MM_A$, hovor�me, �e $\MM_A$ je 
generovan� s�borom ekonomick�ch jednotiek so~vstupno-v�stupn�m vektorom $(\vec{x}_{j}, \vec{y}_{j}) = (x_{1j}, \dots, x_{mj}, y_{1j}, \dots, 
y_{sj})^{\top}$. Mno�ina s~vlastnos�ami (1) a� (3) tvor� 
konvexn� poly�drick� ku�e�, ktor� mo�no vyjadri� 
ako:
$$
\MM_{\CRS} = \left\{ {\left( {\vec{x}^\ast ,\vec{y}^\ast } \right) \in \RR_+^m \times 
\RR_+^w \left| {\begin{array}{l}
 \sum\limits_{j = 1}^n {x_{ij} \lambda _j \le x_i^\ast \;\;\;\;i = 1,\dots,m} 
\\ 
 \sum\limits_{j = 1}^n {y_{rj} \lambda _j \ge y_r^\ast \;\;\;\;r = 1,\dots,w} 
\\ 
 \vec{\lambda} \in \RR_+^n \\ 
 \end{array}} \right.} \right\}
$$

V pr�pade variabiln�ch v�nosov z~rozsahu mno�ina $M_A$ je 
konvexn� poly�drick� mno�ina:
$$
\MM_{\VRS} = \left\{ {\left( {\vec{x}^\ast ,\vec{y}^\ast } \right) \in \RR_ + ^m \times 
\RR_ + ^w \left| {\begin{array}{l}
 \sum\limits_{j = 1}^n {x_{ij} \lambda _j \le x_i^\ast \qquad i = 1,\dots,m} 
\\ 
 \sum\limits_{j = 1}^n {y_{rj} \lambda _j \ge y_r^\ast \qquad r = 1,\dots,w} 
\\ 
 \sum\limits_{j = 1}^n {\lambda_j = 1 \qquad \qquad} \vec{\lambda} \in \RR_ + ^n \\ 
 \end{array}} \right.} \right\}
$$

V tomto pr�stupe budeme za efekt�vnu ekonomick� jednotku 
pova�ova� tak� ekonomick� jednotku $j$, �e:
$$
\nexists \left( {\vec{x}^\ast ,\vec{y}^\ast } \right) \in \MM:\left( {\vec{x}^\ast, \vec{y}^\ast 
} \right) \ne \left( {\vec{x_j}, \vec{y_j} } \right) \wedge \vec{x_j} \ge \vec{x}^\ast \wedge 
\vec{y_j} \le \vec{y}^\ast 
$$
kde $\MM = \MM_{\CRS}$ alebo $\MM = \MM_{\VRS}$. To znamen�, �e ekonomick� 
jednotka $j$ je efekt�vna, ak neexistuje line�rna kombin�cia s~$\lambda \in \RR_ + ^n$ (pre~$\MM= \MM_{\CRS}$)
alebo konvexn� kombin�cia (pre~$\MM = \MM_{\VRS}$) in�ch ekonomick�ch 
jednotiek $r$, $r \neq j$, ktor� 
by mala ni��ie vstupy a z�rove� vy��ie v�stupy.

Pop�sa� hranicu produk�n�ch mo�nost�, resp. navrhn�� funkciu, ktor� ju
pop�e, �i u� v�eobecne alebo pre~niektor� konkr�tnu technol�giu v~ur�itom
�ase, je netrivi�lna �loha.
Preto \osoba{Charnes} a i. (1978, s. 430)
navrhli na~hodnotenie efekt�vnosti (p�vodne) nasleduj�ci model, ktor� s�ce
explicitne nepopisuje hranicu produk�n�ch mo�nost�, ale umo��uje zisti�
pomerovo vzdialenos� sk�manej ekonomickej jednotky od hranice produk�n�ch
mo�nost�, �o na~hodnotenie efekt�vnosti posta�uje.

Pod�a \osoba{Charnesa} a i. (1978) maj� by� v�etky 
$\{y_{rj}\}_{r=1,\dots,w \atop j=1,\dots,n}$ a $\{x_{ij}\}_{i=1,\dots,m \atop j=1,\dots,n}
$ kladn�. No nie v�dy je mo�n� dan� po�iadavku
dodr�a�. Napr�klad model hodnotiaci pr�cu bankov�ch zamestnancov by mal obsahova�,
kv�li robustnosti, �daje o~v�etk�ch zamestnancoch, �o robia za priehradkou.
Len�e ka�d� m� v~popise pr�ce in� hlavn� �innos�, pri�om rob� aj ostatn�, ale
v~men�ej miere. M��e sa celkom �ahko sta�, �e jeden zamestnanec nebude v~sledovanom
obdob� vykon�va� niektor�, z~jeho poh�adu ved�aj�iu, �innos� v�bec.
Podobne m��e existova� model hodnotiaci efekt�vnos� pois�ovn� a nie ka�d� pois�ov�a
sa mus� venova� v�etk�m druhom poistenia.

(\osoba{F�re}, \osoba{Grosskopf}, 2002) uk�zali, �e minim�lnymi po�iadavkami na~d�ta s�:
\begin{enumerate}
\item aspo� jedna ekonomick� jednotka spotrebuv�va v�etky vstupy a produkuje v�etky v�stupy,
\item ka�d� ekonomick� jednotka spotrebuv�va aspo� jeden vstup a produkuje aspo� jeden v�stup,
to znamen�, �e pre~ka�d� ekonomick� jednotku s� v�etky 
vstupy a v�stupy nez�porn� a aspo� jeden vstup a jeden v�stup s� kladn�.
\end{enumerate}

\osoba{Charnes} a \osoba{Cooper} navrhli mera� efekt�vnos� ako pomer $\mbox{\footnotesize v�en� priemer v�stupov} \over
\mbox{\footnotesize v�en� priemer vstupov}$. Pri anal�ze obalu �dajov si
ka�d� ekonomick� jednotka vol� v�hy vstupov a v�stupov tak,
aby dosiahla �o najvy��iu efekt�vnos�. 
Z�rove� je potrebn� prida� ohrani�enia,
preto�e inak by ekonomick� jednotka pridelila �ubovo�ne ve�k� v�hy v�etk�m
v�stupom a �ubovo�ne mal� v�hy v�etk�m vstupom, a t�m �inom dosiahla
�ubovo�ne ve�k� efekt�vnos�, preto�e aspo� jeden z~vstup a aspo� jeden
v�stup s� kladn�. Preto navrhli po�adova�
zvolenie tak�ch v�h, pou�it�m ktor�ch u v�etk�ch ekonomick�ch
jednotiek sa dosiahne efekt�vnos� nanajv��~1.
\begin{df}\label{df:2}
Efekt�vnos�ou jednotky $j_0$ 
sa naz�va hodnota $h_{j_0}$ vypo��tan� nasledovne:
%
\begin{model}\label{model:1}
h_{j_0} & = & \max_{\vec{u},\vec{v}} \frac{\sum\limits_{r=1}^w u_r \cdot y_{rj_0}}{\sum\limits_{i=1}^m v_i \cdot x_{ij_0}} \label{eqn:2}\\
\frac{\sum\limits_{r=1}^w u_r \cdot y_{rj}}{\sum\limits_{i=1}^m v_i \cdot x_{ij}} & \le & 1, \quad j=1,\dots,n\nonumber\\
u_r, v_i &\ge& 0,\quad r=1,\dots,w, \quad i=1,\dots,m \nonumber
\end{model}
\end{df}
V r�mci modelu (\ref{eqn:2}) nadob�da efekt�vnos� $h_{j_0}$ hodnoty z~intervalu $\langle 0,1\rangle$.
Ekonomick� jednotka $j_0$ je efekt�vna (le�� na~hranici produk�n�ch mo�nost�) pr�ve vtedy, ak $h_{j_0} = 1$. ��m je
$h_{j_0}$ bli��ie k~nule, t�m menej ��inne transformuje vstupy na~v�stupy.
Ekonomickou interpret�ciou $h_{j_0}$ je pomer realizovan�ch v�stupov ekonomickej jednotky $j_0$ 
k~najv��iemu mno�stvu v�stupov (na~$\MM_A$) v~rovnakej �trukt�re, ktor� bolo
mo�n� vyprodukova� pri rovnak�ch vstupoch.

$\{x_{ij}\}$ a $\{y_{rj}\}$ s� kon�tanty. V�hy vstupov $\vec{v}^\top = (v_1,\dots, v_m)$ a v�stupov $\vec{u}^\top = (u_1,\dots, u_s)$ nie s� vopred dan� a z�skame ich a�
samotn�m v�po�tom efekt�vnosti sk�manej ekonomickej jednotky $j_0$.

%begin include
Majme optim�lne rie�enie $(\vec{u}^*, \vec{v}^*)$ modelu (\ref{model:1}), potom optim�lnym bude aj
$(\alpha~\cdot~\vec{u}^*,\discretionary{}{}{}\alpha \cdot \vec{v}^*)$,
$\alpha > 0$, t. j. optim�lne rie�enia tvoria otvoren� polpriamku za��naj�cu v~po�iatku
s�radnicovej s�stavy a prech�dzaj�cu nejak�m optim�lnym rie�en�m 
(to vysvet�uje, pre�o sa o~miere efekt�vnosti $h_j$ hovor� ako o~radi�lnej efekt�vnosti).
To znamen�, �e mno�inu rie�en� modelu (\ref{eqn:2}) m��eme rozdeli� do~tried ekvivalenci�. Potom si 
z~ka�dej triedy vyberieme jedno reprezentat�vne rie�enie $\vec{\nu}$ tak�, �e
\begin{equation}\label{eqn:reprriesenie}
\sum_{i=1}^m \nu_i x_{ij_0} = 1
\end{equation}
Z�rove� tak znormujeme menovate�a ��elovej funkcie:
$$
\frac{\sum_{r = 1}^w {\mu _r y_{rj_0 } } }{\sum_{i = 1}^m {\nu 
_i x_{ij_0 } } }\mathop=\limits^{(\ref{eqn:reprriesenie})} \frac{\sum_{r = 1}^w {\mu _r 
y_{rj_0 } } }{1} = \sum_{r = 1}^w {\mu _r y_{rj_0 } } 
$$
Na druh� ohrani�enie modelu (\ref{model:1}) pou�ijeme ekvivalentn� 
�pravy (mo�no n�sobi� bez zmeny znamienka, lebo menovate� je kladn�):
\begin{eqnarray*}
 \frac{\sum_{r = 1}^w {\mu _r y_{rj} } }{\sum_{i = 1}^m {\nu _i x_{ij} } } & \le & 1\;\;\;\;\left| { \cdot \sum_{i = 1}^m {\nu _i 
x_{ij} } } \right. \\ 
 \sum_{r = 1}^w {\mu _r y_{rj} } & \le & \sum_{i = 1}^m {\nu _i 
x_{ij} } \;\;\;\;\left| { - \sum_{i = 1}^m {\nu _i x_{ij} } } \right. 
\\ 
 \sum_{r = 1}^w {\mu _r y_{rj} } - \sum_{i = 1}^m {\nu _i 
x_{ij} } & \le & 0
\end{eqnarray*}
Uveden�mi �pravami mo�no previes� p�vodn� �lohu 
(model (\ref{model:1})) na~�lohu line�rneho programovania:
\begin{model}\label{model:27}
h_{j_0} & = & \max_{\vec{\mu}, \vec{\nu}} \sum_{r=1}^w \mu_r y_{rj_0} \\
&&\\
\sum_{i=1}^m \nu_i x_{ij_0} & = & 1\\
\sum_{r=1}^w \mu_r y_{rj} - \sum_{i=1}^m \nu_i x_{ij} & \le & 0, \quad j = 1, \dots, n\\
\nu_i, \mu_r & \ge & 0, \quad i=1, \dots, m, \quad r=1,\dots,w
\end{model}
Vykonanie anal�zy obalu �dajov vy�aduje rie�i� $n$ probl�mov, lebo $j_0$ postupne
nadob�da hodnoty od 1 do~$n$. Ka�d� 
z~optim�lnych rie�en� $(\vec{u}_j, \vec{v}_j)$, $j = 1, \dots, n$, je norm�lov�m vektorom
nadroviny, ktor� prech�dza za�iatkom s�radnicovej s�stavy a definuje �as�
hranice mno�iny $\MM_A$. Tie ekonomick� jednotky, ktor� le�ia na~tejto hranici
sa naz�vaj� efekt�vne. Mno�inu $\MM_A$ z�skame ako prienik t�ch polpriestorov,
ktor� s� ur�en� nadrovinami z�skan�mi pri rie�en� uva�ovan�ch $n$ probl�mov.

Ak $h_{j_0} = 1$, tak ekonomick� jednotka $j_{0}$ je efekt�vna. 
Inak je neefekt�vna a $h_{j_0} $ je mierou jej efekt�vnosti.

Symetricky k~predch�dzaj�cemu modelu mo�no zadefinova� �lohu 
pre~v�stupne orientovan� model, v~ktorom sa efekt�vnos� mer� ako pomer
${\mbox{\footnotesize v�en� priemer vstupov} \over \mbox {\footnotesize v�en� priemer v�stupov}}$.
Ka�d� ekonomick� jednotka si vol� v�hy vstupov a
v�stupov tak, aby dosiahla �o najni��iu hodnotu ��elovej funkcie.
Ohrani�enia na~v�hy vstupov a v�stupov s� nutn� preto, lebo inak by si
ekonomick� jednotka priraden�m �ubovo�ne ve�k�ch v�h v�etk�m v�stupom a
�ubovo�ne mal�ch v�h v�etk�m vstupom zabezpe�ila �ubovo�ne mal� hodnotu
��elovej funkcie. Preto \osoba{Charnes} a i. (1978) po�adovali zvolenie tak�ch v�h,
pou�it�m ktor�ch u v�etk�ch ekonomick�ch jednotiek sa dosiahne hodnota
��elovej funkcie aspo� 1:
\begin{eqnarray*}
g_{j_0 } & = & \min_{\vec{u}, \vec{v}} \frac{\sum\limits_{i = 1}^m {v _i x_{ij_0 } } }{\sum\limits_{r = 1}^w {u _r y_{rj_0 } } } \\ 
\frac{\sum\limits_{i = 1}^m {v _i x_{ij} } }{\sum\limits_{r = 1}^w {u _r y_{rj} } }  &\ge & 1,\quad j = 1,\dots,n \\ 
u _r, v _i & \ge & 0, \quad r = 1,\dots,w; \quad i = 1,\dots,m 
\end{eqnarray*}
%
Po znormovan� v�stupu dostaneme:
\begin{eqnarray*}
g_{j_0 } & = & \min_{\vec{\mu}, \vec{\nu}} \sum\limits_{i = 1}^m {\nu _i x_{ij_0 } } \\ 
\sum\limits_{r = 1}^w {\mu _r y_{rj_0 } } & = & 1 \\ 
\sum\limits_{i = 1}^m {\nu _i x_{ij} } - \sum\limits_{r = 1}^w {\mu _r y_{rj} } & \ge & 0, \quad j = 1,\dots,n \\ 
\mu _r ,\nu _i  & \ge & 0,\quad r = 1,\dots,w,\quad i = 1,\quad,m
\end{eqnarray*}
Ekonomickou interpret�ciou $g_{j_0}$ je pomer spotrebovan�ch vstupov
ekonomickej jednotky $j_0$ k~najmen�iemu mno�stvu vstupov (na~$\MM_A$) v~rovnakej
�trukt�re, ktor� malo posta�ova� na~produkciu rovnak�ch v�stupov.

Ak $g_{j_0 } = 1$, tak ekonomick� jednotka $j_{0}$ je efekt�vna. 
Inak je neefekt�vna a $\frac{1}{g_{j_0 } }$ je mierou jej 
efekt�vnosti. D�vodom je, �e miera
efekt�vnosti sa intuit�vne ch�pe ako hodnota z~intervalu $\langle 0, 1\rangle$, �omu
zodpoved� pomer 
${\mbox{\footnotesize v�en� priemer v�stupov} \over \mbox{\footnotesize v�en� priemer vstupov}}$. 
Neefekt�vne jednotky mo�no projektova� na~hranicu produk�n�ch mo�nost�.
Pri vstupne orientovanom modeli ide o~proporcion�lne zv��enie v�stupov (projekcia 
neefekt�vnej ekonomickej jednotky $(x,y)$ na~$(x,y')$), pri v�stupne
orientovanom modeli ide o~proporcion�lne zn�enie vstupov (projekcia 
neefekt�vnej ekonomickej jednotky $(x,y)$ na~$(x',y)$), ako je
to ilustrovan� na~obr. \ref{obr:projekciakonst}.
%
\Obrazok{1-6}{\label{obr:projekciakonst}Projekcia neefekt�vnej ekonomickej jednotky pri kon�tantn�ch v�nosoch
z~rozsahu}
%
Veta 2 poskytne d�kaz, �e $f_{j_0} = {1 \over g_{j_0}}$, �i�e pri kon�tantn�ch v�nosoch 
z~rozsahu miera efekt�vnosti nez�vis� od orient�cie modelu.
%end include

Flexibilita v�h je silnou aj
slabou str�nkou tejto met�dy. Silnou preto, lebo nie je potrebn� vyu�i� experta na~stanovenie
exaktn�ch v�h vopred, ako je to pri viackriteri�lnom rozhodovan�. Slabou preto, lebo sa m��e sta�,
�e ekonomick� jednotka dosiahne vysok� efekt�vnos� len kv�li vhodne zvolen�m v�ham.
% -- begin include
Preto sa odpor��a ne�iada� iba nez�pornos� koeficientov,
ale prida� nearchimedovsk� kon�tantu $\epsilon$, $\epsilon > 0$, aby sme zabezpe�ili,
�e na~vyhodnoten� efekt�vnosti danej ekonomickej jednotky sa prejavia v�etky vstupy
a v�stupy, pri�om $\epsilon$ je tak mal�, �e �loha je pr�pustn�.

Teda zadanie na�ej �lohy line�rneho programovania pre~vstupne orientovan� model sa zmen� na:
\begin{eqnarray*}
h_{j_0} & = & \max_{\vec{\mu}, \vec{\nu}} \sum_{r=1}^w \mu_r y_{rj_0}\\
&&\\
\sum_{i=1}^m \nu_i x_{ij_0} & = & 1\\
\sum_{r=1}^w \mu_r y_{rj} - \sum_{i=1}^m \nu_i x_{ij} & \le & 0, \quad j = 1, \dots, n\\
\nu_i, \mu_r & \ge & \epsilon, \quad i=1,\dots,m; \quad r=1,\dots,w
\end{eqnarray*}

Analogicky sa zmen� aj �loha line�rneho programovania pre~
v�stupne orientovan� model na:
\begin{eqnarray*}
 g_{j_0 } & = & \min_{\vec{\mu}, \vec{\nu}}  \sum\limits_{i = 1}^m {\nu _i x_{ij_0 } } \\ 
 \sum\limits_{r = 1}^w {\mu _r y_{rj_0 } } & = & 1 \\ 
 \sum\limits_{i = 1}^m {\nu _i x_{ij} } - \sum\limits_{r = 1}^w {\mu _r y_{rj} } & \ge & 0\quad j = 1,\dots,n \\ 
 \mu _r ,\nu _i & \ge & \epsilon \quad r = 1,\dots,w,\quad i = 1,\dots,m 
\end{eqnarray*}

�loha ost�va pr�pustnou, preto�e st�le h�ad�me tak� nadrovinu, aby jeden z~polpriestorov
�ou ur�en�ch obsahoval v�etky body reprezentuj�ce vyhodnocovan� ekonomick� jednotky a t�ch
je kone�ne ve�a.

Teraz u� m��eme t�to �lohu rie�i�. Ke�e vyhodnocovan�ch ekonomick�ch jednotiek je v~praxi
zv��a viac ako vstupov a v�stupov (odpor��a sa, aby s��et po�tu vstupov a v�stupov neprekro�il tretinu
po�tu vyhodnocovan�ch jednotiek (\cite{banker2});
n�vod na~zmen�enie po�tu vstupov a v�stupov pon�kaj� (\cite{jenkins})), je v�hodnej�ie rie�i� k~nej du�lnu �lohu.
Vektor $\vec{s}^+$ vyjadruje nedostatok v�stupov a vektor $\vec{s}^-$ prebytok vstupov.
Z~historick�ch d�vodov sa v~�al�om texte bude pova�ova� model (\ref{model:1}) za du�lnu �lohu a 
nasleduj�ci model za prim�rnu �lohu.
%

Prvej podmienke modelu (\ref{eqn:2}) bude zodpoveda� skal�rna premenn� $\theta$, $n$ podmienkam pre~%
ekonomick� jednotky $n$-zlo�kov� vektor $\vec{\lambda} = (\lambda_1,\dots, \lambda_n)$, ohrani�eniam
$\vec{\mu}$ vektor $\vec{s}^+$, ohrani�eniam znamienok $\vec{\nu}$ vektor $\vec{s}^-$.

Potom minimalizujeme ��elov� funkciu: 
$$f = \theta - \epsilon \sum_{r=1}^w s_r^+ - \epsilon \sum_{i=1}^m s_i^-$$

Preto�e premenn� $\vec{\mu}$ a $\vec{\nu}$ boli ohrani�en�, dost�vame nasleduj�ce rovnosti:
\begin{eqnarray*}
\sum_{j=1}^n y_{rj}\lambda_j - s_r^+ & = & y_{rj_0} \quad r=1,\dots,w \\
\theta x_{ij_0} - \sum_{j=1}^n x_{ij} \lambda_j - s_i^- & = & 0 \quad i=1,\dots,m\\
\end{eqnarray*}
Ke�e zlo�ky vektorov $\vec{s}^+$, $\vec{s}^-$ a $\vec{\lambda}$ zodpovedaj� nerovnostiam, bud� pre~ne plati�
podmienky nez�pornosti:
\begin{eqnarray*}
s_r^+ & \ge & 0 \quad r=1,\dots,w\\
s_i^- & \ge & 0 \quad i=1,\dots,m\\
\lambda_j & \ge & 0 \quad j=1,\dots,n
\end{eqnarray*}
Naopak, premenn� $\theta$ zodpoved� rovnici, tak�e ostane 
neohrani�en�.

T�mto sme dostali prim�rnu �lohu line�rneho programovania s~$(m+w)$ ohrani�eniami a m��eme
ju rie�i� prim�rnou simplexovou met�dou:
\begin{eqnarray*}
h_{j_0} & = &
\max_{\vec{s}^+, \vec{s}^-, \vec{\lambda}, \vec{\theta}} 
\theta - \epsilon \sum_{r=1}^w s_r^+ 
- \epsilon \sum_{i=1}^m s_i^- \\
&&\\
\sum_{j=1}^n y_{rj}\lambda_j - s_r^+ & = & y_{rj_0} \quad r=1,\dots,w \\
\theta x_{ij_0} - \sum_{i=1}^n x_{ij} \lambda_j - s_i^- & = & 0 \quad i=1,\dots,m\\
&&\\
s_r^+ & \ge & 0 \quad r=1,\dots,w\\
s_i^- & \ge & 0 \quad i=1,\dots,m\\
\lambda_j & \ge & 0 \quad j=1,\dots,n\\
\lefteqn{\theta \mbox{ je neohrani�en� }}
\end{eqnarray*}

Ekonomick� jednotka je efekt�vna, ak sa hodnota ��elovej funkcie rovn� jednej. Z~vety o~komplementarite
vypl�va, �e v�etky nerovnosti bud� splnen� ako rovnosti (aj du�lna �loha m� optim�lne
rie�enie, du�lne premenn� $\vec{\mu}$ a $\vec{\nu}$ s� ostro v��ie ako $\vec{0}$) a teda jednotka
bude le�a� na~hranici efekt�vnosti. Z�rove� plat�, �e $\theta = 1$ a $\vec{s}^+ = \nulvek$, $\vec{s}^- = \nulvek$.

Z~te�rie line�rneho programovania vypl�va, �e hodnoty du�lnych premenn�ch s� identick�
s~tie�ov�mi cenami p�vodn�ho modelu. V na�om pr�pade rozober�me vstupne orientovan�
model. $\theta$ n�m ud�va, ko�kokr�t sa maj� zmen�i� vstupy neefekt�vnej jednotky
(identifikuje mieru neefekt�vnosti), aby sa pribl�ila k~hranici efekt�vnosti
(k~nadrovine). No definit�vnu projekciu na~efekt�vnu mno�inu dosiahneme a� pripo��tan�m
doplnkov�ch premenn�ch $\vec{s}^+$ k~v�stupom a odpo��tan�m premenn�ch $\vec{s}^-$ od
vstupov (identifikuj� zdroje neefekt�vnosti).

V inom poh�ade na~rie�enie prim�rnej �lohy hodnoty
premenn�ch $\lambda_j$ v~optim�lnom rie�en� s� koeficientmi pre~fikt�vnu jednotku
zo~vstupmi $\vec{x}'_j$ a v�stupmi $\vec{y}'_j$, ktor� je projekciou na�ej sk�manej jednotky
so~vstupmi $\vec{x}_{j_0}$ a v�stupmi $\vec{y}_{j_0}$ na~efekt�vnu mno�inu:
\begin{eqnarray*}
y'_r & = & \sum_{j=1}^n \lambda_j \cdot y_{rj}, \quad r=1, \dots, w\\
x'_i & = & \sum_{j=1}^n \lambda_j \cdot x_{ij}, \quad i=1, \dots, m
\end{eqnarray*}
%�rove� vstupov nepresahuje �rove� vstupov DMU$_0$ a v�stupy aspo� tak� ve�k�.

% end include------------------------------
Neefekt�vnu jednotku je mo�n� projektova� na~hranicu produk�n�ch mo�nost�
ako line�rnu kombin�ciu efekt�vnych, ktor� naz�vame jej referen�n�mi jednotkami.

Vzh�adom na~to, �e nie ka�d� ekonomick� jednotka mus� nevyhnutne vyu��va� v�etky druhy
vstupov a produkova� v�etky druhy v�stupov, predpokladajme �alej len, �e neexistuje tak� $j$,
pre~ktor� $\vec{x}_j = \vec{0}$ alebo $\vec{y}_j = \vec{0}$, t. j. ka�d� ekonomick� jednotka
spotrebuje nejak� vstup a produkuje
nejak� v�stup. Teda plat�:
$$(\forall j)(\exists i)x_{ij} > 0 \land (\forall j)(\exists k) y_{kj} > 0$$
%
Nasleduj�ca veta popisuje vz�ah medzi optim�lnymi rie�eniami
vstupne a v�stupne orientovan�ch prim�rnych modelov. Veta 2 sa zaober� du�lnymi modelmi.
Tieto vety formulovali a dok�zali \osoba{Seiford} a \osoba{Thrall} (1990).

\begin{veta}\label{thm:1}
Nech pre~ka�d� $j=1,\dots,n$ s� dan� vektory $\vec{x}_j$, $\vec{y}_j$. 
Nech PI$_0$ je nasledovn� �loha line�rneho programovania
s~premenn�mi $\theta$, $\vec{\lambda}$:
\par
$$\left.
\begin{minipage}{10cm}
\vspace*{-24pt}
\begin{eqnarray}
\min_{\vec{\theta},\vec{\lambda}} \theta && \nonumber\\
\sum_{j=1}^n y_{rj} \lambda_j & \ge & y_{rj_0} \label{eqn:7} \quad r = 1, \dots, w \\
\theta x_{ij_0} - \sum_{j=1}^n x_{ij}\lambda_j & \ge & 0 \quad i = 1, \dots, m \label{eqn:8}\\
\theta \mbox{ vo�n�}, \lambda_j & \ge & 0 \quad j=1,\dots,n \nonumber
\end{eqnarray}
\end{minipage}
\quad
\right\}(\mbox{PI}_0)
$$
\par\medskip
a PO$_0$ je �loha line�rneho programovania s~premenn�mi $\phi$, $\vec{\chi}$:
\par
$$\left.
\begin{minipage}{10cm}
\vspace*{-24pt}
\begin{eqnarray}
\max_{\vec{\phi},\vec{\chi}} \phi && \nonumber\\
\sum_{j=1}^n x_{ij}\chi_j & \le & x_{ij_0} \quad i = 1, \dots, m \nonumber\\
\phi y_{rj_0} - \sum_{j=1}^n y_{rj}\chi_j & \le & 0 \quad r = 1, \dots, w \nonumber\\
\phi \mbox{ vo�n�}, \chi_j & \ge & 0 \quad j=1,\dots,n \nonumber
\end{eqnarray}
\end{minipage}
\quad
\right\}(\mbox{PO}_0)
$$

Nech $(\theta^*, \vec{\lambda}^*)$ je optim�lne rie�enie �lohy PI$_0$. Potom
$$(\phi, \vec{\chi}) = \left(\frac{1}{\theta^*}, \frac{1}{\theta^*}\vec{\lambda}^*\right)$$ je optim�lne
rie�enie �lohy PO$_0$ a zobrazenie
$(\theta^*, \vec{\lambda}^*) \to \left(\frac{1}{\theta^*}, \frac{1}{\theta^*}\vec{\lambda}^*\right)$
je vz�jomne jednozna�n� medzi optim�lnymi rie�eniami PI$_0$ a PO$_0$.
\end{veta}
\begin{dokaz}
Nech pre~pr�pustn� rie�enie PI$_0$ plat� $\theta=0$. Predpokladajme, �e existuje $j: \lambda_j > 0$,
z�rove� z~predch�dzaj�ceho plat� $\theta \vec{x}_{j_0} = \nulvek$.
Ke�e vektor $\vec{x}_{j_0}$ m� aspo� jednu kladn� zlo�ku, neplat� $x_j\lambda \le \theta x_{j_0}$,
t. j. neplat� (\ref{eqn:8}).

Preto ak $\theta = 0$, potom $\vec{\lambda} = \nulvek$ a teda plat� 
$\left(\sum_{j=1}^n y_{1j} \lambda_j, \dots, \sum_{j=1}^n y_{sj} \lambda_j\right) = 
\nulvek \not\ge \vec{y_{j_0}}$
a teda neplat� nerovnos� (\ref{eqn:7}). Keby pre~pr�pustn� rie�enie platilo $\theta < 0$, t�m sk�r neplat� (\ref{eqn:8}).
Teda pre~pr�pustn� rie�enie �lohy PI$_0$ plat� $\theta > 0$.

Nech $(\theta,\vec{\lambda})$ je pr�pustn� rie�enie �lohy PI$_0$. Po predelen� nerovnost�
(\ref{eqn:7}), (\ref{eqn:8}) ��slom $\theta$ dostaneme:%\pagebreak[0]
\begin{eqnarray*}
\frac1\theta \cdot \sum_{j=1}^n y_{rj} \lambda_j & \ge & y_{rj_0} \cdot \frac1\theta \quad r = 1, \dots, w \\
&&\\
x_{ij_0} - \frac1\theta \cdot \sum_{j=1}^n x_{ij}\lambda_j & \ge & 0 \quad i = 1, \dots, m \\
\end{eqnarray*}
Ak polo��me $\phi = \frac1\theta$, $\vec{\chi} = \frac1\theta \cdot \vec{\lambda}$, dostaneme:
\begin{eqnarray*}
\sum_{j = 1}^n y_{rj} \chi_j & \ge & \phi y_{rj_0} \quad \left| -\sum_{j = 1}^n y_{rj} \chi_j \right. \\ 
 x_{ij_0} - \sum_{j = 1}^n x_{ij} \chi_j & \ge & 0\quad \left| +\sum_{j = 1}^n x_{ij} \chi_j \right.\\
&&\\
\phi y_{rj_0} - \sum_{j=1}^n y_{rj}\chi_j & \le & 0 \quad r = 1, \dots, w \nonumber\\
\sum_{j=1}^n x_{ij}\chi_j & \le & x_{ij_0} \quad i = 1, \dots, m \nonumber
%
%\phi y_{j_0} - y_k\chi & \le & 0\\
%x_j\chi & \le & x_{j_0}.
\end{eqnarray*}
Teda $(\phi,\vec{\chi})$ je pr�pustn� rie�enie �lohy PO$_0$

Podobne sa d� uk�za�, �e ak $(\phi, \vec{\chi})$ je pr�pustn� rie�enie �lohy PO$_0$ sp��aj�ce podmienku
$\phi > 0$, potom $\left(\frac1\phi, \frac1\phi\cdot \vec{\chi}\right)$ je pr�pustn� rie�enie PI$_0$.
Nech $(\theta^*, \vec{\lambda}^*)$,  $(\phi^*,\vec{\chi}^*)$ s� optim�lne rie�enia �loh PI$_0$ a PO$_0$, pri�om
$\phi^* \ge 1$, lebo $\phi=1$, $\chi_0 = 1$, $\chi_j = 0$ inak, je pr�pustn� rie�enie PO$_0$.

$\left(\frac{1}{\theta^*}, \frac{1}{\theta^*}\cdot {\vec{\lambda}^*}\right)$ je pr�pustn� rie�enie �lohy PO$_0$,
v~ktorej maximalizujeme, odtia�
\begin{equation}\label{eqn:9}
\phi^* \ge \frac{1}{\theta^*}
\end{equation}
Podobne $\left(\frac1\phi^*, \frac1\phi^* \cdot \vec{\chi^*}\right)$ je pr�pustn� rie�enie �lohy PI$_0$, v~ktorej
minimalizujeme, preto plat�
\begin{equation}\label{eqn:10}
\theta^* \le \frac{1}{\phi^*} \imp \frac{1}{\theta*} \ge \phi^*
\end{equation}
Zo~vz�ahov (\ref{eqn:9}), (\ref{eqn:10}) m�me $\phi^* = \frac{1}{\theta^*}$, teda optim�lne
rie�enia �lohy PI$_0$ s� vz�jomne jednozna�ne zobrazen� do~optim�lnych rie�en� �lohy PO$_0$.
\end{dokaz}
%-------------
\begin{veta}%thm:2
Nech pre~ka�d� $j=1,\dots,n$ s� dan� vektory $\vec{x}_j$, $\vec{y}_j$. 
Nech DI$_0$ je nasledovn� �loha line�rneho programovania s~premenn�mi
$\vec{\mu}$, $\vec{\nu}$:
%\vspace*{-1.3cm}
\par
$$\left.
\begin{minipage}{10cm}
\vspace*{-24pt}
\begin{eqnarray}
\max_{\vec{\mu}, \vec{\nu}} z & = & \sum_{r=1}^w \mu_r y_{rj_0}\nonumber\\
\sum_{i=1}^m \nu_i x_{ij_0} & = & 1 \label{eqn:11}\\
\sum_{r=1}^w \mu_r y_{rj} - \sum_{i=1}^m \nu_i x_{ij} & \le & 0 \label{eqn:12} \quad j = 1,\dots,n\\
\mu_r, \nu_i & \ge & 0 \quad r=1, \dots, w \nonumber\\
&& \phantom {0 \quad} i=1, \dots, m\nonumber
\end{eqnarray}
\end{minipage}
\quad
\right\}(\mbox{DI}_0)
$$
\par
a DO$_0$ je �loha line�rneho programovania s~premenn�mi
$\vec{u}$, $\vec{v}$:
$$\left.
\begin{minipage}{10cm}
\vspace*{-10pt}
\begin{eqnarray*}
\min_{\vec{u}, \vec{v}} q & = & \sum_{i=1}^m v_i x_{ij_0}\\
\sum_{r=1}^w u_r y_{rj_0} & = & 1\\
- \sum_{r=1}^w u_r y_{rj} + \sum_{i=1}^m v_i x_{ij} & \ge & 0 \quad j = 1, \dots n\\
u_r, v_i & \ge & 0 \quad r=1, \dots, w \nonumber\\
&& \phantom {0 \quad} i=1, \dots, m\nonumber
\end{eqnarray*}
\end{minipage}
\quad
\right\}(\mbox{DO}_0)
$$
\par

Zobrazenie $(\vec{u}^*, \vec{v}^*) \to \left(\frac{1}{z^*}\right)(\vec{\mu}^*, \vec{\nu}^*)$ je vz�jomne jednozna�n�
medzi optim�lnymi rie�eniami �loh DI$_0$ a DO$_0$.
Pr�slu�n� optim�lne hodnoty $z^*$, $q^*$ sp��aj� $z^* \cdot q^* = 1$.
%%%
\end{veta}
%
\begin{dokaz}
Funkcii $z$ v~modeli (DI$_0$) zodpoved� funkcia $\theta$ v~modeli (PI$_0$) z~vety \ref{thm:1}. 
Funkcii $q$ v~modeli (DO$_0$) zodpoved� funkcia $\phi$ v~modeli (PO$_0$) z~vety \ref{thm:1}. 

Nech $(\vec{\mu}, \vec{\nu})$ je pr�pustn� rie�enie �lohy DI$_0$. Z~vety \ref{thm:1} m�me, �e $z > 0$.
Polo�me $\vec{u}=\frac1z \vec{\mu}$, $\vec{v} = \frac1z \vec{\nu}$. Predelen�m rovnice 
$z = \sum_{r=1}^w \mu_r y_{rj_0}$
��slom $z$ m�me $1 = \frac{1}{z} \sum_{r=1}^w \mu_r y_{rj_0} = \sum_{r=1}^w \frac{1}{z} \mu_r y_{rj_0} = \sum_{r=1}^w u_r y_{rj_0}$.

Predelen�m nerovnosti (\ref{eqn:12}) ��slom $z$ m�me
$\frac{1}{z} \sum_{r=1}^w \mu_r y_{rj} - \frac{1}{z} \sum_{i=1}^m \nu_i x_{ij} \le 0$ alebo ekvivalentne
$- \sum_{r=1}^w u_r y_{rj} + \sum_{i=1}^m v_i x_{ij} \ge 0$, teda $(\vec{u}, \vec{v})$ je pr�pustn� rie�enie �lohy DO$_{0}$.

Tie� je vidie�, �e ak ($\vec{u}$, $\vec{v}$) je pr�pustn� rie�enie
�lohy DO$_{0}$, tak $\left(\frac1q \cdot \vec{u}, \frac1q \cdot \vec{v}\right)$
je pr�pustn� rie�enie �lohy DI$_{0}$.

Nech teraz $(\vec{\mu}^*,\vec{\nu}^*)$ je optim�lne rie�enie DI$_{0}$.

Z~vety \ref{thm:1} m�me, �e
\begin{equation}\label{eqn:13}
z^* \cdot q^* = 1
\end{equation}

Ak polo��me $\vec{u}=\frac{1}{z^*} \cdot \vec{\mu}^*$, $\vec{v} = \frac{1}{z^*} \cdot \vec{\nu}^*$,
tak pod�a dok�zan�ho $(\vec{u}, \vec{v})$ je pr�pustn� rie�enie
DO$_{0}$. Pre~hodnotu ��elovej funkcie plat�:
$q = \sum_{i=1}^m v_i x_{ij_0} = \sum_{i=1}^m \frac{1}{z^*} \nu^*_i x_{ij_0 } = \frac{1}{z^*} \sum_{i=1}^m \nu^*_i x_{ij_0 } \longeq{(\ref{eqn:12})}
\frac{1}{z^*} \cdot 1 \longeq{(\ref{eqn:13})} q^*$ teda
$(\vec{u}, \vec{v})$ je optim�lne rie�enie DO$_{0}$. Plat� aj obr�tene,
a teda zobrazenie $(\vec{u^*}, \vec{v^*}) \to \left(\frac{1}{z^*}
\right)(\vec{\mu^*}, \vec{\nu^*})$ je vz�jomne jednozna�n� medzi
optim�lnymi rie�eniami �loh DI$_{0}$ a DO$_{0}$.
\end{dokaz}

%variabilne vynosy z rozsahu, <start>
V praxi sa st�va, �e ekonomick� jednotky dosahuj� optim�lne v�sledky z~d�vodu ich \uv{spr�vnej}
ve�kosti. Ak je firma mal�, �a�ko sa daj� dosiahnu� n�zke jednotkov� n�klady
(firma m� pr�li� mal� priestor na~rozpo��tanie fixn�ch n�kladov). Ke�
sa firma rozrast�, zni�uj� sa jednotkov� n�klady. To je zdrojom zv��uj�cich
sa v�nosov. Dodato�n� v�stupy teda rast� r�chlej�ie ako dodato�n�
vstupy. Nasta� v�ak m��e aj opa�n� situ�cia, ke� je firma pr�li�
ve�k� a nast�vaj� probl�my s~riaden�m, �o neprimerane zvy�uje n�klady.

Z~hore uveden�ho vypl�va, �e firma sa m��e na~trhu spr�va� efekt�vne vzh�adom
k~ostatn�m v~r�mci svojej ve�kosti. Doteraz sme uva�ovali o~kon�tantn�ch
v�nosoch z~rozsahu, teraz sa pozrieme na~variabiln� v�nosy z~rozsahu.

Z~predpokladov, o~ktor�ch sme hovorili pri kon�tantn�ch v�nosoch, ost�va
v~platnosti iba bezplatn� likvid�cia.

�alej po�adujeme konvexnos� pr�pustnej mno�iny, tak�e k~prim�rnej �lohe PI$_0$
prid�me ohrani�enie, ktor� zodpoved� ekonomickej po�iadavke variabiln�ch
v�nosov z~rozsahu:
$$\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$$
Takto zmen��me pr�pustn� mno�inu. Rovnako ako v~pr�pade kon�tantn�ch v�nosov
z~rozsahu aj v~tomto pr�pade
bude mno�ina $\MM_{\VRS}$ tvoren� prienikom polpriestorov. Rozdiel oproti mno�ine
$\MM_{\CRS}$ je, �e hranicu $\MM_{\VRS}$ nemusia tvori� len nadroviny prech�dzaj�ce
po�iatkom s�radnicovej s�stavy.
To znamen�, �e u� nepo�adujeme, aby ka�d� efekt�vny
podnik rovnako, v~z�vislosti od ve�kosti svojich v�stupov, proporcion�lne
zmen�il svoje vstupy. Teraz bude z�visie� od ve�kosti v�stupov,
na~ktor� �as� hranice bude podnik projektovan�.

Rie�ime teda prim�rnu �lohu:
\begin{eqnarray*}
h_{j_0} & = & \min_{\vec{s}^+, \vec{s}^-, \vec{\lambda}, \vec{\theta}} 
\theta - \epsilon \sum_{r=1}^w s_r^+
- \epsilon \sum_{i=1}^m s_i^- \\
&&\\
\sum_{j=1}^n y_{rj}\lambda_j - s_r^+ & = & y_{rj_0} \quad r=1,\dots,w \\
\theta x_{ij_0} - \sum_{j=1}^n x_{ij} \lambda_j - s_i^- & = & 0 \quad i=1,\dots,m\\
&&\\
\sum_{j=1}^n \lambda_j & = & 1\\
s_r^+ & \ge & 0 \quad r=1,\dots,w\\
s_i^- & \ge & 0 \quad i=1,\dots,m\\
\lambda_j & \ge & 0 \quad j=1,\dots,n\\
\lefteqn{\theta \mbox{ je neohrani�en� }}
\end{eqnarray*}
%
Pri�om du�lna �loha sa zmen� nasledovne:
\begin{eqnarray*}
h_{j_0} & = & \max_{\vec{\mu}, \vec{\nu}} \mu_0 + \sum_{r=1}^w \mu_r y_{rj_0}\\
%
\sum_{i=1}^m \nu_i x_{ij_0} & = & 1 \\
\mu_0 + \sum_{r=1}^w \mu_r y_{rj} - \sum_{i=1}^m \nu_i x_{ij} & \le & 0 \quad j=1,\dots,n\\
\mu_r & \ge & \epsilon \quad i=1,\dots,m\\
\nu_i & \ge & \epsilon \quad r=1,\dots,w\\
\lefteqn{\mu_0 \mbox{ je neohrani�en� }}
\end{eqnarray*}

H�ad�me teda hranicu produk�n�ch mo�nost�, tak ako je to
prezentovan� na~obr. \ref{obr:konvexobal}.
%
\obrazok{1-7}{\label{obr:konvexobal}Mno�ina produk�n�ch mo�nost� v~modeli s~1 vstupom a 1 v�stupom pri variabiln�ch v�nosoch z~rozsahu}
%
Rie�en�m �lohy zase z�skame tie�ov� ceny. Tie vyjadruj�
relat�vnu ve�kos� vplyvu jednotliv�ch ekonomick�ch vstupov v v�stupov
na efekt�vnos� sk�manej ekonomickej jednotky. Pomocou tie�ov�ch cien
m��eme urobi� projekcie neefekt�vnych jednotiek na~hranicu produk�n�ch mo�nost�. Pri vstupne
orientovanom modeli ide o~proporcion�lne zv��enie v�stupov (projekcia 
neefekt�vnej ekonomickej jednotky $(x,y)$ na~$(x,y')$), pri v�stupne
orientovanom modeli ide o~proporcion�lne zn�enie vstupov (projekcia 
neefekt�vnej ekonomickej jednotky $(x,y)$ na~$(x',y)$), ako je
to ilustrovan� na~obr. \ref{obr:projekcia}.

%
\obrazok{1-8}{\label{obr:projekcia}Projekcia neefekt�vnej ekonomickej jednotky pri variabiln�ch v�nosoch z~rozsahu}
%variabilne vynosy z rozsahu, </end>

%-------------------------------------------------
\chapter{Anal�za obalu intervalov�ch �dajov}
Model (\ref{eqn:2}) je vhodn� vtedy, ak vieme presne odmera� v�etky
sledovan� vstupy a v�stupy pre~ka�d� sk�man� ekonomick� jednotku. Probl�mom v�ak je, �o
v~pr�pade, �e je mo�n� mera� len s~ur�itou presnos�ou (�i u� z~technick�ch pr��in
alebo pre~finan�n� n�ro�nos� zberu �plne presn�ch �dajov). 
T�to problematika bola roz\-pracovan� v~(\osoba{Cooper}, \osoba{Park}, \osoba{Yu}, 1999),
kde sa zaoberaj� modelom efekt�vnosti pri spojen� presn�ch a nepresn�ch d�t,
av�ak jeho rie�enie je zalo�en� na~pridan� \uv{assurance regions} a prevode
na~�lohu line�rneho programovania. Ke�e tak�ho \uv{pomocn�} podmienky nemus� by�
v�dy mo�n� z�ska�, v~pr�ci rozober�me vhodnej�� pr�stup, ktor�
pon�ka \osoba{Despotis, Smirlis} (2002)
v~modeli (\ref{model:10}). V~modeli (\ref{index3}) prezentujeme alternat�vny model 
kv�li u�ah�eniu v�po�tu.
N�sledne veta \ref{thm:3}, resp. \ref{thm:3}' dokumentuje vz�ah medzi rie�eniami modelov
(\ref{model:10}) a (\ref{index3}) a veta \ref{thm:4} vz�ah medzi
rie�eniami modelov (\ref{index4}) a (\ref{index6}).
%
\begin{df}\label{df:4}
Majme interval $\langle x_{ij}^L, x_{ij}^U \rangle$. Nech $x_{ij}$ le��
v~tomto intervale pre~ka�d� $i$, $j$.
�alej majme interval $\langle y_{rj}^L, y_{rj}^U \rangle$. Nech
$y_{rj}$ le��
v~tomto intervale pre~ka�d� $r$, $j$. Pri v�po�te efekt�vnosti ekonomickej jednotky
$j_0$ maximalizujeme ��elov� funkciu aj v�berom ve�kosti vstupov a v�stupov z~pr�slu�n�ch intervalov.
Potom $h_{j_0}$, t. j. efekt�vnos� ekonomickej jednotky $j_0$ vypo��tame nasledovne:
\begin{model}[model:10]
h_{j_0} & = & \max_{\vec{x},\vec{y}} \max_{\vec{u},\vec{v}} \sum_{r = 1}^w {u_r y_{rj_0}} \\
\sum_{i = 1}^m v_i x_{ij_0} & = & 1 \nonumber\\
\sum_{r = 1}^w u_r y_{rj} - \sum_{i = 1}^m v_i x_{ij} & \le & 0,\quad j = 1,\dots,n \nonumber\\
x_{ij} & \in & \left\langle x_{ij}^L ,x_{ij}^U \right\rangle \nonumber\\
y_{rj} & \in & \left\langle y_{rj}^L ,y_{rj}^U \right\rangle \nonumber\\
u_r,v_i & \ge & \varepsilon, \quad  r=1, \dots, w;\  i=1, \dots, m \nonumber
\end{model}
\end{df}
Model (\ref{model:10}) nie je line�rny ani konvexn�, preto�e
��elov� funkcia je skal�rnym s��inom dvoch premenn�ch $\vec{u}$ a $\vec{y}$ a ohrani�enia
obsahuj� skal�rne s��iny premenn�ch $\vec{v}$, $\vec{x}$ a $\vec{u}$, $\vec{y}$.
\osoba{Despotis}, \osoba{Smirlis} (2002) navrhli vhodn� vo�bu $\vec{x}$
a $\vec{y}$ z~intervalov, ktor� je vyu�it� v~modeli (\ref{index3}). Takto na~v�po�et
efekt�vnosti jednej ekonomickej jednotky posta�uje vyrie�i� jeden model, v~ktorom s� $\vec{x}$ a $\vec{y}$ kon�tanty.

\osoba{Smirlis} a \osoba{Despotis} navrhli kv�li lineariz�cii danej �lohy
najprv pou�i� transform�ciu $x_{ij}$ a $y_{rj}$:
\begin{eqnarray*}
x_{ij} & = & x_{ij}^L + s_{ij} (x_{ij}^U - x_{ij}^L ),\; i = 1,\dots,m;\;j =
1,\dots, n,\;0 \le s_{ij} \le 1\\
%
y_{rj} & = & y_{rj}^L + t_{rj} (y_{rj}^U - y_{rj}^L ),\; r = 1,\dots,w;\;j =
1,\dots, n,\;0 \le t_{rj} \le 1
\end{eqnarray*}
%
Pomocou t�chto transform�ci�, s� premenn� $x_{ij}$ a $y_{rj}$
z~modelu (\ref{model:10}) nahraden� nov�mi premenn�mi
$s_{ij}$ a $t_{rj}$. Tie s� u� normovan�, interval
$\left\langle x_{ij}^L, x_{ij}^U \right\rangle$ resp. interval
$\left\langle y_{rj}^L ,y_{rj}^U \right\rangle$ zobrazuj� 
na~$\langle 0, 1 \rangle$. Model (\ref{model:10}) zostal aj po
transform�cii neline�rny kv�li s��inu $v_{i}\cdot s_{ij}$
a $u_{r} \cdot t_{rj}$. Preto je vhodn� transform�cia $q_{ij} = v_i \cdot s_{ij}$
a $p_{rj}=u_{r} \cdot t_{rj}$. Po transform�cii pre~v�en�
s��et vstupov jednotky $j_{0}$ v~modeli (\ref{model:10}) plat�:
\begin{eqnarray*}
\sum_{i = 1}^m v_i x_{ij} & = & \sum_{i = 1}^m v_i
\left[ x_{ij}^L + s_{ij} \left( x_{ij^U} - x_{ij}^L \right) \right] =\\
& = & \sum_{i = 1}^m v_i x_{ij}^L + v_i s_{ij} \left( x_{ij}^U - x_{ij}^L \right) =
\sum_{i = 1}^m v_i x_{ij}^L + q_{ij} \left( {x_{ij}^U - x_{ij}^L } \right)\\
\end{eqnarray*}
kde $0 \le q_{ij} \le v_i$, pre~ka�d� $i$ a $j$. Uveden� podmienka
vypl�va zo~vz�ahu $s_{ij}=\frac{q_{ij}}{v_i}$, kde $v_i \ge \epsilon$ a
$0 \le s_{ij} \le 1$ pre~ka�d� $i$ a $j$. Podobne v�en� s��et v�stupov
jednotky $j$ m� tvar:
\begin{eqnarray*}
\sum_{r=1}^w u_r y_{rj} & = & \sum_{r=1}^w u_r \left[y_{rj}^L + t_{rj} \left(y_{rj}^U - y_{rj}^L\right)\right] = \\
& = & \sum_{r=1}^w u_r y_{rj}^L + u_r t_{rj} \left(y_{rj}^U - y_{rj}^L\right) =
\sum_{r=1}^w u_r y_{rj}^L + p_{rj} \left(y_{rj}^U - y_{rj}^L\right)
\end{eqnarray*}
s~$0 \le p_{rj} \le u_r$, pre~ka�d� $r$ a $j$.
%
Pomocou predch�dzaj�cej transform�cie sme dostali line�rny
model (\ref{model:2-2}).
\begin{df}\label{df:5}
Nech platia hore uveden� predpoklady. Potom efekt�vnos�ou jednotky
$j_{0}$ sa naz�va hodnota $h_{j_0}$ vypo��tan� nasledovne:
%--------------------------------
{
%\arraycolsep=2pt
\begin{model}[model:2-2]
h^*_{j_0} & = &  \max_{\vec{p},\vec{q}} \max_{\vec{u},\vec{v}} \left( \sum_{r = 1}^w u_r y_{rj_0}^L + p_{rj_0}
\left(y_{rj_0}^U - y_{rj_0}^L\right)\right)\\
%
\sum_{i = 1}^m \biggl(v_i x_{ij_0}^L + q_{ij_0} \left(x_{ij_0}^U -
x_{ij_0}^L\right)\biggr) & = & 1 \nonumber\\
%
%\sum_{r=1}^w u_r y_{rj}^L + p_{rj} \left(y_{rj}^U - y_{rj}^L\right) - {} &&\\
%- \sum_{i = 1}^m v_i x_{ij_0}^L + q_{ij_0} \left(x_{ij_0}^U -
%x_{ij_0}^L\right) & \le & 0,\: j=1,\dots,n \nonumber\\
\omit\span\omit\span\omit\span
\sum_{r=1}^w \biggl(u_r y_{rj}^L + p_{rj} \left(y_{rj}^U - y_{rj}^L\right)\biggr) - 
\sum_{i = 1}^m \biggl(v_i x_{ij_0}^L + q_{ij_0} \left(x_{ij_0}^U -
x_{ij_0}^L\right)\biggr) \le 0,\: j=1,\dots,n \quad%vyrovnavaci qquad
\nonumber\\
%
p_{rj} - u_r & \le & 0, \: r=1,\dots,w,\; j=1,\dots,n \nonumber\\
%
q_{ij} - v_i & \le & 0, \: i=1,\dots,m,\; j=1,\dots,n\nonumber\\
%
u_r, v_i & \ge & \epsilon, \: r=1, \dots, w;\  i=1, \dots, m \nonumber\\
%
p_{rj}, q_{ij} & \ge & 0, \: r=1, \dots, w;\  i=1, \dots, m;\ j=1, \dots, n \qquad
\end{model}
}
\end{df}
%
Model s~presn�mi vstupno-v�stupn�mi d�tami sa d� odvodi�
ako �peci�lny pr�pad modelu (\ref{model:2-2}). Ak horn� a
doln� hranica intervalu je rovnak� pre~v�etky vstupy a
v�stupy, tak ka�d� interval m� nulov� d�ku. Preto
druh� �len sumy vypadne spolu s~premenn�mi $q_{ij}$ a $p_{rj}$. Teda
m��eme vynecha� podmienky $p_{rj} - u_r \le 0$ a $q_{ij} - v_i \le 0$
a model (\ref{model:2-2}) sa zredukuje na~model (\ref{model:10}). %model1
Ak sa horn� hranica a doln� hranica intervalu rovnaj� len pre~%
niektor� vstupy a v�stupy, tak model (\ref{model:2-2}) vie pracova�
aj s~mixom presn�ch a intervalov�ch hodn�t.

V modeli (\ref{model:2-2}) si mus� ekonomick� jednotka $j_{0}$
ur�i� nielen v�hy, ale aj v��ku vstupov a v�stupov 
z~pr�slu�n�ch intervalov tak, aby to bolo pre~�u �o
najv�hodnej�ie. V��ka vstupov a v�stupov sa ur��
pomocou premenn�ch $q_{ij}$ a $p_{rj}$. Konkr�tne $q_{ij} = 0 $
($p_{rj} = 0$) vtedy a len vtedy, ak �rove� vstupu $i$ (v�stupu $r$) pre~%
ekonomick� jednotku $j$ je rovn� $x_{ij}^L$ ($y_{rj}^L$). Podobne
$q_{ij}=v_{i}$ ($p_{rj}=u_r$) vtedy a len vtedy, ak �rove� vstupu
$i$ (v�stupu $r$) pre~jednotku $j$ je rovn� $x_{ij}^U$ ($y_{rj}^U$).
Je to mo�n� dok�za� na~z�klade vz�ahu medzi modelmi (\ref{model:10}) a
(\ref{model:2-2}).

Pri v�po�te efekt�vnosti pou�it�m modelu (\ref{index3}), ktor� navrhli
\osoba{Despotis} a \osoba{Smirlis} (2002), 
sa v��ka vstupov a v�stupov a im zodpovedaj�cich v�h
nastav� tak, aby boli pre~jednotku $j_{0}$ �o najv�hodnej�ie.
�i�e efekt�vnos� $(h_{j_0}^*)$ z�skan� v�po�tom
pre~jednotku $j_{0}$ pomocou modelu (\ref{model:2-2}) nie je hor�ia
(men�ia) ako ak�ko�vek inak vypo��tan� sk�re, ktor�
sa d� z�ska� pou�it�m in�ch vstupov a v�stupov
poch�dzaj�cich z~pr�slu�n�ch intervalov.

Vy��ie uveden� transform�cie 
n�m umo��uj� explicitne definova�
horn� a doln� ohrani�enia mo�n�ch sk�re
efekt�vnosti, ktor� m��e dosianu� jednotka $j_{0}$ pri
dan�ch intervaloch vstupov a v�stupov. Model (\ref{index3}) 
sl��i na~v�po�et horn�ho limitu a model (\ref{index6}) 
na~v�po�et doln�ho limitu dan�ho intervalu.
%
\begin{df}\label{df:6}
Horn� limit efekt�vnosti $H_{j_0}$ je mo�n� vypo��ta� nasledovne:
\begin{model}
H_{j_0} & = & \max_{\vec{u},\vec{v}} \sum_{r = 1}^w u_r y_{rj_0}^U \label{index3}\label{model:12}\\
\sum_{i = 1}^m v_i x_{ij_0}^L & = & 1 \nonumber\\
\sum_{r = 1}^w u_r y_{rj_0}^U - \sum_{i = 1}^m v_i x_{ij_0}^L & \le & 0 \nonumber\\
\sum_{r = 1}^w u_r y_{rj}^L - \sum_{i = 1}^m v_i x_{ij}^U & \le & 0, \quad j=1,\dots,j_0 - 1, j_0 + 1\dots,n\nonumber\\
u_r, v_i & \ge & \epsilon, \quad  r=1, \dots, w;\  i=1, \dots, m \nonumber
\end{model}
\end{df}

Model (\ref{index3}) je modelom s~presn�mi d�tami, kde je
v��ka vstupov a v�stupov zvolen� �o najv�hodnej�ie
pre~jednotku $j_{0}$ a �o najnev�hodnej�ie pre~ostatn� jednotky.
pre~hodnoten� jednotku s� zvolen� vstupy na~�rovni dolnej
hranice intervalu a v�stup na~�rovni hornej hranice intervalu. Pre~%
ostatn� jednotky s� vstupy zvolen� na~�rovni hornej hranice
intervalu a v�stupy na~�rovni dolnej hranice intervalu. Vo~vete
\ref{thm:3} uk�eme, �e $H_{j_0} = h_{j_0}$.

V�hodou modelu (\ref{index3}) oproti modelu (\ref{model:10}) je,
�e sa d� rie�i� ako model s~presn�mi d�tami, na~�o je
k~dispoz�cii v�po�tov� apar�t.

Nasleduj�cu vetu, ktor� sl��i na~prechod od modelu (\ref{model:2-2})
k~modelu (\ref{index3}), vyslovili a dok�zali \osoba{Despotis} a \osoba{Smirlis} (2002):

\begin{veta}\label{thm:3}
Ak $h_{j_0}^*$ a $H_{j_0}$ s� efekt�vnosti jednotky $j_0$ z�skan� pomocou modelov
(\ref{model:2-2}) a (\ref{index3}), potom plat� $h_{j_0}^* = H_{j_0}$.
\end{veta}

\begin{dokaz}
Najprv si v�imnime, �e ak $\vec{u} = (u_1, \dots, u_s)$, $\vec{v} = (v_1, \dots, v_m)$ je 
pr�pustn�m rie�en�m modelu (\ref{index3}), tak roz��ren� rie�enie $(\vec{u}, \vec{v}, \matica{Q}, \matica{P})$, kde:
$$ \matica{Q} = (q_{ij}, i = 1, \dots, m, j = 1, \dots, n), \matica{P} = (p_{rj}, r = 1, \dots, w, j = 1, \dots, n) $$
a
$$ q_{ij} = \cases{0, & $j=j_0$ \cr v_i, & $j \ne j_0$},  p_{rj} = \cases{0, & $j \ne j_0$ \cr u_r, & $j = j_0$}$$
je pr�pustn�m rie�en�m modelu (\ref{model:2-2}) a $H_{j_0}(\vec{u}, \vec{v}) = h_{j_0}(\vec{u}, \vec{v}, \matica{Q}, \matica{P})$. Teda 
model (\ref{index3}) mo�no odvodi� priamo z~modelu (\ref{model:2-2}) pou�it�m $\matica{P}, \matica{Q}$.

Vyu�it�m �dajov o~vstupoch a v�stupoch v~modeli (\ref{index3}), ekonomick� jednotka $j_0$ je 
v~najlep�ej mo�nej poz�cii k~ostatn�m ekonomick�m jednotk�m a teda $h_{j_0}^U$ je najvy���m
mo�n�m efekt�vnostn�m sk�re, ktor� m��e ekonomick� jednotka dosiahn��. �i�e $h_{j_0}^* \le h_{j_0}^U$.
Nech sa teraz $\vec{u^0} = (u_1^0, \dots, u_s^0)$, $\vec{v^0} = (v_1^0, \dots, v_m^0)$ optim�lnym
rie�en�m modelu (\ref{index3}) (in�mi slovami $H_{j_0}(\vec{u^0}, \vec{v^0}) = h_{j_0}^U$). Potom roz��ren�
rie�enie ($\vec{u^0}, \vec{v^0}, \matica{Q}, \matica{P}$), kde, vy��ie definovan�, $\matica{Q}$ a $\matica{P}$ je pr�pustn�m rie�en�m modelu (\ref{model:2-2})
a preto $h_{j_0} (\vec{u^0}, \vec{v^0}, \matica{Q}, \matica{P}) = H_{j_0} (\vec{u^0}, \vec{v^0}) = h_{j_0}^U \le h_{j_0}^*$. Teda $h_{j_0}^U = h_{j_0}^*$.


\end{dokaz}
Prech�dzaj�ci d�kaz nie je celkom form�lne korektn�, preto�e autor sa nezaoberal pr�padn�mi
zmenami pr�pustnej mno�iny. K alternat�vnemu d�kazu
vety \ref{thm:3}' budeme potrebova� uk�za�, �e efekt�vnos� $h_{j_0}$ je v~z�vislosti
od $x_{r_j}$ ($j\neq j_0$) neklesaj�ca, od $y_{i_j}$ ($j \neq j_0$) nerast�ca,
od $x_{r_{j_0}}$ nerast�ca, od $y_{i_{j_0}}$ neklesaj�ca, �o dok�eme v~nasleduj�cich
lem�ch.
%-----

Majme �lohu line�rneho programovania:
\begin{eqnarray}
 h_{j_0 } & = & \max_{u,v} \sum_{r = 1}^w {y_{rj_0 } 
u_r } \label{a1} \\ 
 \sum_{i = 1}^m {x_{ij_0 } v_i } & = & 1\label{a2} \\ 
 \sum_{r = 1}^w {y_{rj} u_r } - \sum_{i = 1}^m {x_{ij} v_i } &\le& 0\quad j = 1,\dots,n\label{a3} \\ 
 u_r & \ge & 0\quad r = 1,\dots,w\label{a4}\\ 
 v_i & \ge & 0\quad i = 1,\dots,m\label{a5}
\end{eqnarray}
%
Ozna�me pre~$j=1,\dots,n$
\begin{eqnarray*}
A_j & = & \biggl\{ \left( {u,v} \right):\sum_{r = 1}^w y_{rj} u_r - \sum_{i = 1}^m x_{ij} v_i \le 0,
u_r \ge 0,\ r = 1,\dots,w, \\
&& v_i \ge 0,\ i = 1,\dots,m \biggr\}
\end{eqnarray*}
%
Nech $A_0 = \left\{ {\left( {u,v} \right):\sum_{i = 1}^m {x_{ij_0 } 
v_i } = 1} \right\}$.

Pr�pustn� mno�inu dan� podmienkami (\ref{a2})--(\ref{a5}) 
ozna�me $A$. Zrejme $A = \bigcap\limits_{k = 0}^n {A_k } $.
%
\begin{lema}\label{lema:1}
Pre~ka�d� $r_0 = 1,\dots,w$ a ka�d� $j = 1,\dots,j_0 - 
1,j_0 + 1,\dots,n$ je $h_{j_0 } $ v~modeli (\ref{a1})--(\ref{a5}) nerast�ce
v~z�vislosti od $y_{r_0 j} $.
\end{lema}
\begin{dokaz}
Fixujme $j \ne j_0 $ pevn�. Predpokladajme, �e m�me hodnoty 
$y_{r_0 j}$ a ${y}'_{r_0 j} $ tak�, �e $y'_{r_0 j} > y_{r_0 j}$. 

Nech 
\begin{eqnarray*}
A'_j & = & \biggl\{(u,v):\sum_{r = 1 \atop r \ne r_0}^w y_{rj} u_r + y'_{r_0 j} u_{r_0} - 
\sum_{i = 1}^m {x_{ij} v_i } \le 0, u_r \ge 0,\ r = 1,\dots,w,\\
&& v_i \ge 0,\ i = 1,\dots,m
\biggr\}
\end{eqnarray*}
%
Nech $A' = \bigcap\limits_{k = 0 \atop k \ne j}^n {A_k } \cap A'_j$.
V modeli (\ref{a1})--(\ref{a5}) pre~v�etky $r = 1, \dots, w$, pre~v�etky $m = 1, 
\dots, m$, pre~v�etky $j = 1, \dots, n$ parametre s� $x_{ij}$, $y_{rj}$ 
nez�porn� a z~defin�cie modelu plat�, �e $u_{r}$, $v_{i}$ s� tie� nez�porn�.
%
\begin{eqnarray*}
&& \left( {y_{r_0 j} < {y}'_{r_0 j} } \right) \Rightarrow 
\left( {y_{r_0 j} u_{r_0 } \le {y}'_{r_0 j} u_{r_0 } } \right) \Rightarrow \\
&& \left( 
{\sum_{r = 1}^w {y_{rj} u_r } - \sum_{i = 1}^m {x_{ij} v_i } 
\le \sum_{r = 1 \atop  r \ne r_0}^w {y_{rj} u_r } + {y}'_{r_0 j} u_{r_0 } - \sum_{i = 
1}^m {x_{ij} v_i } \le 0} \right)\!\!\mbox{, teda}\;\left( {A_j \supseteq A'_j 
} \right) 
\end{eqnarray*}�
�alej
\begin{eqnarray*}
&& \left( {\forall A_j \supseteq A'_j } \right)\left( {\bigcap\limits_{k = 
0}^n {A_k } } \right) \supseteq \left( {\bigcap\limits_{k = 0 \atop k \ne j}^n 
{A_k } \cap A'_j } \right)\!\!\mbox{, teda } A \supseteq A' \\ 
\end{eqnarray*}
%
%\obrazok{lema1}{Zmena pr�pustnej mno�iny v z�vislosti od $y_{r_0 j}$}
Pr�pustn� mno�ina sa pri zv��en� parametra 
$y_{r_0 j} $ nezv��ila ($A' \subseteq A)$, ��elov� 
funkcia ostala nezmenen�, $\max_A \sum_{r = 1}^w {y_{rj_0 } u_r } \ge 
\max_{A'} \sum_{r = 1}^w {y_{rj_0 } u_r } $, teda $h_{j_0 } $ je 
nerast�ce v~z�vislosti od $y_{r_0 j} ,r_0 = 1,\dots,w,j = 1,\dots,j_0 - 
1,j_0 + 1,\dots,n$.
\end{dokaz}

\begin{lema}\label{lema:2}
Pre~ka�d� $i_0 = 1,\dots,m$ a ka�d� $j = 1,\dots,j_0 - 
1,j_0 + 1,\dots,n$ je $h_{j_0 } $ v~modeli (\ref{a1})--(\ref{a5}) neklesaj�ce 
v~z�vislosti od $x_{i_0 j} $.
\end{lema}
\begin{dokaz}
Fixujme $j \ne j_0 $ pevn�. Predpokladajme, �e m�me hodnoty 
$x_{i_0 j}$ a ${x}'_{i_0 j} $ tak�, �e ${x}'_{i_0 j} > 
x_{i_0 j} $.
%
Nech 
\begin{eqnarray*}
A'_j & = & \biggl\{ \left( {u,v} \right):\sum_{r = 1}^w {y_{rj} u_r } -
\sum_{i = 1 \atop i \ne i_0}^m {x_{ij} v_i - {x}'_{i_0 j} v_{i_0 } } \le 0,
u_r \ge 0,\ r = 1,\dots,w,\\
&& v_i \ge 0,i = 1,\dots,m \biggr\}
\end{eqnarray*}
%
Nech $A' = \bigcap\limits_{k = 0 \atop k \ne j}^n {A_k } \cap A'_j$.
%
V modeli (\ref{a1})--(\ref{a5}) pre~v�etky $r = 1, \dots, w$, pre~v�etky 
$m = 1, \dots, m$, pre~v�etky $j = 1, \dots, n$ parametre s� $x_{ij}$, $y_{rj}$ 
nez�porn� a z~defin�cie modelu plat�, �e $u_{r}$, 
$v_{i}$ s� nez�porn�.
%
\begin{eqnarray*}
&& \left( {x_{i_0 j} < {x}'_{i_0 j} } \right) \Rightarrow 
 \left( {x_{i_0 j} v_{i_0 } \le {x}'_{i_0 j} v_{i_0 } } \right) \Rightarrow \\
&& \left( {\sum_{r = 1}^w {y_{rj} u_r } - 
 \sum_{i = 1 \atop i \ne i_0}^m {x_{ij} v_i } - x_{i_0 j} v_{i_0 } \le 
 \sum_{r = 1}^w {y_{rj} u_r } - \sum_{i = 1}^m {x_{ij} v_i } \le 0} \right)
 \!\!\mbox{, teda } \left( {A_j \subseteq A'_j } \right) 
\end{eqnarray*}
�alej
\begin{eqnarray*}
\left( {\forall A_j \subseteq A'_j } \right)\left( {\bigcap\limits_{k = 0}^n {A_k } } \right) 
\subseteq \left( {\bigcap\limits_{k = 0 \atop k \ne j}^n 
{A_k } \cap A'_j } \right)\!\!\mbox{, teda } A \subseteq A' 
\end{eqnarray*}
%
%\obrazok{lema2}{Zmena pr�pustnej mno�iny v z�vislosti od $x_{i_0 j}$}
%
Pr�pustn� mno�ina sa pri zv��en� parametra 
$x_{i_0 j} $ nezmen�ila ($A' \supseteq A)$, ��elov� funkcia 
ostala nezmenen�, $\max_A \sum_{r = 1}^w y_{rj_0 } u_r \le \max_{A'} 
\sum_{r = 1}^w {y_{rj_0 } u_r } $, teda $h_{j_0 } $ je 
neklesaj�ce v~z�vislosti od $x_{i_0 j} ,i_0 = 1,\dots,m,j = 1,\dots,j_0 
- 1,j_0 + 1,\dots,n$.
\end{dokaz}

\begin{lema}\label{lema:3}
Pre~ka�d� $r_0 = 1,\dots,w$ je $h_{j_0 } $ v~modeli 
(\ref{a1})--(\ref{a5}) neklesaj�ce v~z�vislosti od~$y_{r_0 j_0 } $.
\end{lema}
\begin{dokaz}
Ohrani�enie $\sum_{r = 1}^w {y_{rj_0 } u_r } - \sum_{i = 1}^m 
{x_{ij_0 } v_i } \le 0$ m��e by� splnen� v~optim�lnom 
rie�en� (\ref{a1})--(\ref{a5}) ako rovnos� (pr�pad 1) alebo 
nerovnos� (pr�pad 2).
%
Majme hodnoty $y_{r_0 j_0 }$, ${y}'_{r_0 j_0 }$ a ${y}''_{r_0 j_0 }$ 
tak�, �e ${y}'_{r_0 j_0 } < y_{r_0 j_0 } < {y}''_{r_0 j_0 } $.

Nech 
\begin{eqnarray*}
A'_{j_0 } & = & \biggl\{ \left( u, v \right):
\sum_{r = 1 \atop r \ne r_0}^w y_{rj_0 } u_r + y'_{r_0 j_0 } u_{r_0 } 
- \sum_{i = 1}^m x_{ij_0 } v_i \le 0, u_r \ge 0,\ r = 1,\dots,w,\\
&& v_i \ge 0,\ i = 1,\dots,m \biggr\}
\end{eqnarray*}
%
Nech
\begin{eqnarray*}
A''_{j_0 } & = & \Biggl\{ \left( {u,v} 
\right):\sum_{r = 1 \atop r \ne r_0}^w {y_{rj_0 } u_r } + {y}''_{r_0 j_0 } u_{r_0 } - 
\sum_{i = 1}^m {x_{ij_0 } v_i } \le 0, u_r \ge 0,\ r = 1,\dots,w,\\
&& v_i \ge 0,\ i = 1,\dots,m \Biggr\}
\end{eqnarray*}
%
Nech $A' = \bigcap\limits_{k = 0 \atop k \ne j_0}^n {A_k } \cap A'_{j_0 }$ a 
$A'' = \bigcap\limits_{k = 0 \atop k \ne j_0}^n {A_k } \cap A''_{j_0 }$.
\begin{itemize}
\item Pr�pad 1: ohrani�enie
$\sum_{r = 1}^w {y_{rj_0 } u_r } - \sum_{i = 1}^m {x_{ij_0 } v_i } \le 0$ je splnen� 
v~optim�lnom rie�en� (\ref{a1})--(\ref{a5}) ako rovnos�, �i�e 
$\sum_{r = 1}^w {y_{rj_0 } u_r } - \sum_{i = 1}^m {x_{ij_0 } 
v_i } = 0$, teda $\sum_{r = 1}^w {y_{rj_0 } u_r } = \sum_{i = 
1}^m {x_{ij_0 } v_i } $ 

Z~(\ref{a2}) m�me, �e $\sum_{i = 1}^m {x_{ij_0 } v_i } = 1$, po 
dosaden� $\sum_{r = 1}^w {y_{rj_0 } u_r } = \sum_{i = 
1}^m {x_{ij_0 } v_i } = 1$, teda $h_{j_0 } $ = 1

V modeli (\ref{a1})--(\ref{a5}) pre~v�etky $r = 1, \dots, w$, pre~v�etky $m$ = 1, 
\dots, $m$, pre~v�etky $j$ = 1, \dots, $n$ parametre s� $x_{ij}$, $y_{rj}$ 
nez�porn� a z~defin�cie modelu plat�, �e $u_{r}$, 
$v_{i}$ s� nez�porn�.
%
\begin{itemize}
\item Pr�pad 1a: ${y}'_{r_0 j_0 } < y_{r_0 j_0 } $ ($y_{r_0 j_0 }$ sa zmen�ilo)

Z~podmienky (\ref{a3}) (pre~$j = j_0 )$ v~modeli (\ref{a1})--(\ref{a5}) je 
zrejm�, �e ��elov� funkcia je zhora ohrani�en� hodnotou 
1. Z~toho vypl�va, �e pre~v�etky ${y}'_{r_0 j_0 } < y_{r_0 j_0 } 
$ je ${h}'_{j_0 } \le 1 = h_{j_0 } $.
%
\item Pr�pad 1b: $y_{r_0 j_0 } < {y}''_{r_0 j_0 }$ ($y_{r_0 j_0 } $ sa zv��ilo)
%
\begin{eqnarray*}
 && \left( y_{r_0 j_0} < y''_{r_0 j_0 } \right) \Rightarrow 
 \left( y_{r_0 j_0} u_{r_0} \le y''_{r_0 j_0} u_{r_0} \right) \Rightarrow \\
 &&
 \left( {\sum_{r = 1}^w {y_{rj_0 } u_r } - \sum_{i = 1}^m 
{x_{ij_0 } v_i } \le \sum_{r = 1 \atop r \ne r_0}^w {y_{rj_0 } u_r } + {y}''_{r_0 j_0 } u_{r_0 } - 
\sum_{i = 1}^m {x_{ij_0 } v_i } \le 0} \right)\!\!,\\
&& \mbox{ teda } 
\left( {A_{j_0 } \supseteq A''_{j_0 } } \right) 
\end{eqnarray*}
�alej
\begin{eqnarray*}
 \left( \forall A_{j_0 } \supseteq A''_{j_0} \right)
 \left( \bigcap\limits_{k = 0}^n {A_k } \right) \supseteq 
 \left( \bigcap\limits_{k = 0 \atop k \ne j_0}^n {A_k } \cap A''_{j_0 } \right)
\!\!\mbox{, teda } A \supseteq A'' 
\end{eqnarray*}

%
Pr�pustn� mno�ina sa pri zv��en� parametra 
$y_{r_0 j_0 } $ nezv��ila ($A'' \subseteq A)$, ale obmedzenie 
$\sum_{r = 1 \atop r \ne r_0}^w {y_{rj_0 } u_r } + {y}''_{r_0 j_0 } u_{r_0 } - 
\sum_{i = 1}^m {x_{ij_0 } v_i } \le 0$ je na�alej splnen� ako 
rovnos�, teda $h_{j_0 } = \sum_{r = 1 \atop r \ne r_0}^w {y_{rj_0 } u_r } + {y}'_{r_0 j_0 } u_{r_0 } = \sum_{i 
= 1}^m {x_{ij_0 } v_i } = 1$ pre~${y}''_{r_0 j_0 } \ge y_{r_0 j_0 } ,r_0 = 
1,\dots,w$.
\end{itemize}
%
\item Pr�pad 2: ak ohrani�enie $\sum_{r = 1}^w {y_{rj_0 } u_r } - 
\sum_{i = 1}^m {x_{ij_0 } v_i } \le 0$ nie je rovnos�ou 
v~optim�lnom rie�en� (\ref{a1})--(\ref{a5}), �i�e $\sum_{r 
= 1}^w {y_{rj_0 } u_r } - \sum_{i = 1}^m {x_{ij_0 } v_i } < 0$, tak 
$\bigcap\limits_{k = 0 \atop k \ne j_0}^n A_k$ je vlastnou podmno�inou $A_{j_0 }$.
$A = \bigcap\limits_{k = 0}^n {A_k} \subsetneq \bigcap\limits_{k = 0 \atop k \ne j_0}^n {A_k } \subset A_{j_0 } $, �i�e obmedzenie 
pr�slu�n� $A_{j_0 } $ je redundantn� pri vymedzen� $A$.

V modeli (\ref{a1})--(\ref{a5}) pre~v�etky $r = 1, \dots, w$, pre~v�etky 
$m = 1, \dots, m$, pre~v�et\-ky $j= 1, \dots, n$ parametre s� $x_{ij}$, $y_{rj}$ 
nez�porn� a z~defin�cie modelu plat�, �e~$u_{r}$, $v_{i}$ s� nez�porn�.
%
\begin{itemize}
\item Pr�pad 2a: ${y}'_{r_0 j_0 } < y_{r_0 j_0 } $ ($y_{r_0 j_0 }$ sa zmen�ilo)
%
\begin{eqnarray*}
&& \left( {{y}'_{r_0 j_0 } < y_{r_0 j_0 } } \right) \Rightarrow 
\left( {{y}'_{r_0 j_0 } u_{r_0 } \le y_{r_0 j_0 } u_{r_0 } } \right) \Rightarrow \\
&& \left( {\sum_{r = 1 \atop r \ne r_0}^w {y_{rj_0 } u_r } + {y}'_{r_0 j_0 } u_{r_0 } -
\sum_{i = 1}^m {x_{ij_0 } v_i } \le \sum_{r = 1}^w {y_{rj_0 } u_r } - \sum_{i = 1}^m {x_{ij_0 } v_i } \le 0} \right)\!\!,\\
&& \mbox{ teda } \left( 
{A'_{j_0 } \supseteq A_{j_0 } } \right)
\end{eqnarray*}
%
Pre~${y}'_{r_0 j_0 } < y_{r_0 j_0 } $ je $A'_{j_0 } \supseteq A_{j_0 } $. 
Ke�e $A \subsetneq A_{j_0 } $, tak $A \subsetneq A'_{j_0 } $. Teda 
pr�pustn� mno�ina sa nemen�, ��elov� funkcia pre~%
${y}'_{r_0 j_0 } < y_{r_0 j_0 } $ je $\sum_{r = 1 \atop r \ne r_0}^w {y_{rj_0 } u_r } + 
{y}'_{r_0 j_0 } u_{r_0 } \le \sum_{r = 1}^w {y_{rj_0 } u_r } $. In�mi slovami pre~%
${y}'_{r_0 j_0 } < y_{r_0 j_0 } $ je ${h}'_{j_0 } \le h_{j_0 } $.
\item Pr�pad 2b: $y_{r_0 j_0 } < {y}''_{r_0 j_0 }$ ($y_{r_0 j_0 }$ sa zv��ilo)
\begin{eqnarray*}
&& \left( {y_{r_0 j_0 } < {y}''_{r_0 j_0 } } \right) \Rightarrow 
 \left( {y_{r_0 j_0 } u_{r_0 } \le {y}''_{r_0 j_0 } u_{r_0 } } \right) \Rightarrow \\
&& \left( {\sum_{r = 1}^w {y_{rj_0 } u_r } - \sum_{i = 1}^m 
{x_{ij_0 } v_i } \le \sum_{r = 1 \atop r \ne r_0}^w {y_{rj_0 } u_r } + {y}''_{r_0 j_0 } u_{r_0 } - 
\sum_{i = 1}^m {x_{ij_0 } v_i } \le 0} \right)\!\!,\\
&& \mbox{ teda } \left({A_{j_0 } \supseteq A''_{j_0 } } \right)
\end{eqnarray*}
�alej
\begin{eqnarray*}
 \left( {\forall A_{j_0 } \supseteq A''_{j_0 } } \right)\left( 
{\bigcap\limits_{k = 0}^n {A_k } } \right) \supseteq \left( 
{\bigcap\limits_{k = 0 \atop k \ne j_0}^n {A_k } \cap A''_{j_0 } } \right)\!\!,
 \mbox{ teda } A \supseteq A''
\end{eqnarray*}
Ak $A'' \subseteq A$ tak bu� $A'' = A$ alebo $A'' \subsetneq A$.
\end{itemize}
\end{itemize}

Ak $A'' = A$, �i�e pr�pustn� mno�ina ostala 
nezmenen�, pre~$y_{r_0 j_0 } < {y}''_{r_0 j_0 } $ je $\sum_{r = 
1}^w {y_{rj_0 } u_r } \le \sum_{r = 1 \atop r \ne r_0}^w {y_{rj_0 } u_r } + 
{y}''_{r_0 j_0 } u_{r_0 } $. In�mi 
slovami pre~$y_{r_0 j_0 } < {y}''_{r_0 j_0 } $ je $h_{j_0 } \le {h}''_{j_0 }$.

Ak $A'' \subsetneq A$ mohol nasta�, len ak obmedzenie 
pr�slu�n� $A''_{j_0 } $ nie je redundantn� pri~vymedzen� 
$A''$, �i�e podmienka $\sum_{r = 1 \atop r \ne r_0}^w {y_{rj_0 } u_r + {y}''_{r_0 j_0 } u_{r_0 } } - 
\sum_{i = 1}^m {x_{ij_0 } v_i } \le 0$ je splnen� ako rovnos�, 
preto ${h}''_{j_0 } = \sum_{r = 1 \atop r \ne r_0}^w {y_{rj_0 } u_r + {y}''_{r_0 j_0 } u_{r_0 } } = 
\sum_{i = 1}^m {x_{ij_0 } v_i } = 1$. In�mi slovami pre~$y_{r_0 
j_0 } < {y}''_{r_0 j_0 } $ je $h_{j_0 } \le 1 = {h}''_{j_0 } $.

V pr�pade 1 i 2 je $h_{j_0 } $ neklesaj�ce ako funkcia $y_{r_0 j_0} ,r_0 = 1,\dots,w$. 
\end{dokaz}
%
\begin{lema}\label{lema:4}%lema 4
Pre~ka�d� $i_0 = 1,\dots,m$ je $h_{j_0} $ v~modeli 
(\ref{a1})--(\ref{a5}) nerast�ce v~z�vislosti od~$x_{i_0 j_0}$.
\end{lema}
D�kaz je analogick� d�kazu lemy \ref{lema:3}.
\par\bigskip
%-----------------------------------------------------
%\begin{veta}[veta 3']
%\end{veta}
\par\noindent
\textbf{Veta \ref{thm:3}'}\ %
{\sl
Ak $h_{j_0}$ a $H_{j_0}$ s� efekt�vnosti jednotky $j_0$ z�skan� pomocou modelov
(\ref{model:10}) a (\ref{index3}), potom plat� $h_{j_0} = H_{j_0}$.
}
\par\noindent
Vo~vete \ref{thm:3} autori uk�zali ekvivalenciu modelov (\ref{model:2-2}) a 
(\ref{index3}). My v�ak vo~vete \ref{thm:3}' uk�eme ekvivalenciu modelov
(\ref{model:10}) a (\ref{model:12}), pri�om prechod medzi modelom
(\ref{model:10}) a (\ref{model:2-2}) je zrejm�.
%
\begin{dokaz}
Pre~ka�d� $x_{ij}$, $i=1,\dots,m$, $j=1,\dots,n$ a pre~ka�d� $y_{rj}$, $r=1,\dots,w$, $j=1,\dots,n$ 
z~modelu (\ref{model:10}) je $x_{ij} \in \langle x_{ij}^L, x_{ij}^U \rangle$,
$y_{rj} \in \langle y_{rj}^L, y_{rj}^U \rangle$. Na z�klade predch�dzaj�cich tvrden�
uk�eme, �e maximum funkcie $h_{j_0}$ cez $\vec{x}$, $\vec{y}$ m��eme h�ada� v~jednom bode $(\vec{x}, \vec{y})$.

Ke�e $h_{j_0}$ je v~z�vislosti od $x_{r_j}$ ($j\neq j_0$) neklesaj�ca (pod�a lemy \ref{lema:2}), vyberieme
maximum z~pr�slu�n�ho defini�n�ho oboru, teda vyberieme 
$(\forall j\neq j_0)\ i=1,\dots,m,\  x_{ij} = x_{ij}^U$.
%
Efekt�vnos� $h_{j_0}$ je �alej v~z�vislosti od $y_{i_j}$ ($j \neq j_0$) nerast�ca (pod�a lemy \ref{lema:1}),
�i�e vyberieme
$(\forall j\neq j_0)\ r=1,\dots,w,\  y_{rj} = y_{rj}^L$.
%
Efekt�vnos� $h_{j_0}$ je v~z�vislosti 
od $x_{r_{j_0}}$ nerast�ca (pod�a lemy \ref{lema:4}), �i�e vyberieme 
$i=1,\dots,m,\  x_{ij_0} = x_{ij_0}^L$.
%
Efekt�vnos� $h_{j_0}$ je v~z�vislosti od $y_{i_{j_0}}$ neklesaj�ca (pod�a lemy \ref{lema:3}), teda
vyberieme
$r=1,\dots,w,\  y_{rj_0} = y_{rj_0}^U$.

Z~defini�n�ho oboru sa sta�� zaobera� bodom 
$(\vec{x}, \vec{y}): (\forall j\neq j_0)\, i=1,\dots,m,\  x_{ij} = x_{ij}^U;\
i=1,\dots,m,\  x_{ij_0} = x_{ij_0}^L;\
(\forall j\neq j_0)\ r=1,\dots,w,\  y_{rj} = y_{rj}^L; r=1,\dots,w,\  y_{rj_0} = y_{rj_0}^U
$, �o n�m umo��uje prejs� od modelu (\ref{model:10}), ktor� nebol line�rny ani konvexn�, 
lebo ��elov� funkcia bola skal�rnym s��inom dvoch premenn�ch $\vec{y}$ a $\vec{u}$ 
a ohrani�enia
obsahovali skal�rne s��iny premenn�ch $\vec{v}$, $\vec{x}$ a $\vec{u}$, $\vec{y}$, 
k~modelu (\ref{model:12}),
ktor� je u� line�rny.
% 
\end{dokaz}
%-----------------------------------------------------
\begin{df}\label{df:7}
Pri v�po�te dolnej hranice efekt�vnosti ekonomickej jednotky
$j_0$ minimalizujeme ��elov� funkciu v�berom ve�kosti vstupov a v�stupov z~pr�slu�n�ch intervalov.
Potom $f_{j_0}$, t. j. doln� hranicu mo�nej efekt�vnosti ekonomickej jednotky $j_0$ vypo��tame nasledovne:
%
\begin{model}[index4]
f_{j_0} & = & \min_{\vec{x},\vec{y}} \max_{\vec{u},\vec{v}} \sum_{r = 1}^w {u_r y_{rj_0}} \\
\sum_{i = 1}^m v_i x_{ij_0} & = & 1 \nonumber\\
\sum_{r = 1}^w u_r y_{rj} - \sum_{i = 1}^m v_i x_{ij} & \le & 0,\quad j = 1,\dots,n \nonumber\\
x_{ij} & \in & \left\langle x_{ij}^L, x_{ij}^U \right\rangle \nonumber\\
y_{rj} & \in & \left\langle y_{rj}^L, y_{rj}^U \right\rangle \nonumber\\
u_r,v_i & \ge & \varepsilon, \quad  r=1, \dots, w;\  i=1, \dots, m \nonumber
\end{model}

Pomocou transform�ci�, ktor� boli pou�it� na~transform�ciu
modelu (\ref{model:10}) a (\ref{model:2-2}), dostaneme model (\ref{index5}).

\begin{model}[index5]
f^*_{j_0} & = & \max_{\vec{p},\vec{q}} \min_{\vec{u},\vec{v}} \left(\sum_{r = 1}^w u_r y_{rj_0}^L + p_{rj_0}
\left(y_{rj_0}^U - y_{rj_0}^L\right)\right)\\
%
\sum_{i = 1}^m \biggl(v_i x_{ij_0}^L + q_{ij_0} \left(x_{ij_0}^U -
x_{ij_0}^L\right)\biggr)& = & 1 \nonumber\\
%
\omit\span\omit\span\omit\span
\sum_{r=1}^w \biggl(u_r y_{rj}^L + p_{rj} \left(y_{rj}^U - y_{rj}^L\right)\biggr) - 
\sum_{i = 1}^m \biggl(v_i x_{ij_0}^L + q_{ij_0} \left(x_{ij_0}^U -
x_{ij_0}^L\right)\biggr) \le 0,\ j=1,\dots,n \quad \nonumber\\
%
p_{rj} - u_r & \le & 0, \ r=1,\dots,w;\  j=1,\dots,n \nonumber\\
%
q_{ij} - v_i & \le & 0, \ i=1,\dots, m;\  j=1,\dots,n\nonumber\\
%
u_r, v_i & \ge & \epsilon, \ r=1, \dots, w;\  i=1,\dots, m \nonumber\\
%
p_{rj}, q_{ij} & \ge & 0, \ r=1, \dots, w;\  i=1, \dots, m;\ j=1,\dots, n
\end{model}

Model (\ref{index6}) je modelom s~presn�mi d�tami. Na rozdiel
od modelu (\ref{index5}) sa pre~sk�man� jednotku $j_{0}$ nastavia
�rovne vstupov a v�stupov �o najnepriaznivej�ie a �rovne
vstupov a v�stupov ostatn�ch jednotiek �o najpriaznivej�ie. Pre~%
jednotku $j_{0}$ sa zvol� v��ka vstupov na~�rovni hornej
hranice intervalu a v��ka v�stupov na~�rovni dolnej hranice
intervalu. Pre~ostatn� s� zvolen� vstupy na~�rovni dolnej
hranice intervalu a v�stupy na~�rovni hornej hranice intervalu.
T�m �inom sa jednotka $j_{0}$ uk�e v~najhor�om
mo�nom svetle v~porovnan� s~ostatn�mi jednotkami. Preto
efekt�vnos� z�skan� z~modelu (\ref{index6}) (ozna�me ju
$F_{j_0}$) sl��i ako doln� hranica mo�n�ch sk�re
efekt�vnosti. �i�e modely (\ref{index3}) a (\ref{index6}) sl��ia 
na~zostrojenie intervalu $\left\langle h_j^L ,h_j^U \right\rangle$,
v~ktorom le�� efekt�vnos�, ktor� by sme vypo��tali, keby sme mali presn� d�ta. 

\begin{model}[index6]
F_{j_0} & = & \max_{\vec{u}, \vec{v}} \sum_{r = 1}^w u_r y_{rj_0}^L\\
\sum_{i = 1}^m v_i x_{ij_0}^U & = & 1 \nonumber\\
\sum_{r = 1}^w u_r y_{rj_0}^L - \sum_{i = 1}^m v_i x_{ij_0}^U & \le & 0\\
\sum_{r = 1}^w u_r y_{rj}^U - \sum_{i = 1}^m v_i x_{ij}^L & \le & 0,
\quad j=1,\dots,j_0 - 1, j_0 + 1,\dots n \nonumber\\
u_r, v_i & \ge & \epsilon, \quad r = 1,\dots,w;\ i=1,\dots,m \nonumber
\end{model}
\end{df}

\begin{veta}\label{thm:4}%veta4 v~deartf.tex
Ak $f_{j_0}$ a $F_{j_0} $ s� efekt�vnosti jednotky $j_0$ z�skan� z~modelov 
(\ref{index4}) a (\ref{index6}), potom plat� $f_{j_0} = F_{j_0}$.
\end{veta}
\begin{dokaz}
Pre~ka�d� $x_{ij}$, $i=1,\dots,m$, $j=1,\dots,n$ a pre~ka�d� $y_{rj}$, $r=1,\dots,w$, $j=1,\dots,n$ 
z~modelu (\ref{index4}) je $x_{ij} \in \langle x_{ij}^L, x_{ij}^U \rangle$,
$y_{rj} \in \langle y_{rj}^L, y_{rj}^U \rangle$. Na z�klade sk�r uveden�ch tvrden�
m��eme minimum funkcie $h_{j_0}$ cez $\vec{x}$, $\vec{y}$ m��eme h�ada� v~jednom bode $(\vec{x}, \vec{y})$.

Ke�e $h_{j_0}$ je v~z�vislosti od $x_{r_j}$ ($j\neq j_0$) neklesaj�ca (pod�a lemy \ref{lema:2}), vyberieme
minimum z~pr�slu�n�ho defini�n�ho oboru, teda vyberieme 
$(\forall j\neq j_0)\ i=1,\dots,m,\  x_{ij} = x_{ij}^L$.
%
Efekt�vnos� $h_{j_0}$ je �alej v~z�vislosti od $y_{i_j}$ ($j \neq j_0$) nerast�ca (pod�a lemy \ref{lema:1}),
�i�e vyberieme
$(\forall j\neq j_0)\ r=1,\dots,w,\  y_{rj} = y_{rj}^U$.
%
Efekt�vnos� $h_{j_0}$ je v~z�vislosti 
od $x_{r_{j_0}}$ nerast�ca (pod�a lemy \ref{lema:4}), �i�e vyberieme 
$i=1,\dots,m,\  x_{ij_0} = x_{ij_0}^U$.
%
Efekt�vnos� $h_{j_0}$ je v~z�vislosti od $y_{i_{j_0}}$ neklesaj�ca (pod�a lemy \ref{lema:3}), teda
vyberieme
$r=1,\dots,w,\  y_{rj_0} = y_{rj_0}^L$.

Z~defini�n�ho oboru sa sta�� zaobera� bodom 
$(\vec{x}, \vec{y}): (\forall j\neq j_0)\, i=1,\dots,m,\  x_{ij} = x_{ij}^U;\
i=1,\dots,m,\  x_{ij_0} = x_{ij_0}^U;\
(\forall j\neq j_0)\ r=1,\dots,w,\  y_{rj} = y_{rj}^L; r=1,\dots,w,\  y_{rj_0} = y_{rj_0}^L
$, �o n�m umo��uje prejs� od modelu (\ref{index4}), ktor� nebol line�rny, ani konvexn�, 
lebo ��elov� funkcia bola skal�rnym s��inom dvoch premenn�ch $\vec{y}$ a $\vec{u}$
a ohrani�enia
obsahovali skal�rne s��iny premenn�ch $\vec{v}$, $\vec{x}$ a $\vec{u}$, $\vec{y}$, k~modelu 
(\ref{index6}), ktor� je u� line�rny.
\end{dokaz}

%----------------------------------------------------
\chapter{Anal�za obalu ne�pln�ch �dajov}
V doteraz spom�nan�ch modeloch sa st�le predpokladalo, �e v�etky �daje
o~vstupoch a v�stupoch s�
(viac �i menej presne) zn�me. V pr�pade, �e niektor� �daj nie je dostupn�, 
mus� sa pou�i� z�stupn� (crisp) hodnota,
aby sa stal model pr�pustn�m. Pri tomto zjednodu�en� sa str�ca ist� �as� inform�cie.

Predpokladajme, �e nie je zn�my $r$-t� v�stup $j_0$-tej ekonomickej jednotky, �i�e
$y_{r_{j_0}}$ je ch�baj�ce. Z�kladn� pr�stupy na~rie�enie tohto zah��aj� vynechanie $j_0$-tej ekonomickej
jednotky alebo vynechanie $r$-t�ho v�stupu z~anal�zy. Zamerajme sa �al�ie dve mo�nosti:
\begin{enumerate}
\item \label{pristup1} vynechanie $r$-t�ho v�stupu pri v�po�te efekt�vnosti $j_0$-tej ekonomickej jednotky (ale vyu�itie
v�etk�ch v�stupov, vr�tane $r$-t�ho v�stupu, pri v�po�te efekt�vnosti v�etk�ch ostatn�ch ekonomick�ch jednotiek),
\item \label{pristup2} priradenie $y_{rj_0} = 0$.
\end{enumerate}

Pr�stupy \ref{pristup1} a \ref{pristup2} s� ekvivalentn� v~zmysle, �e
pre~v�etky ekonomick� jednotky d�vaj� rovnak� hodnoty efekt�vnosti (\osoba{Kuosmanen}, 2002).

Nech $y_{rj_0} = 0$. Z~predpokladu, �e ka�d� ekonomick�
jednotka vyprodukuje kladn� mno�stvo aspo� jedn�ho v�stupu,
bez ujmy na~v�eobecnosti nech je to $i$-t� v�stup ($y_{ij_0} > 0$), hodnota
$\sum_{k=1}^w y_{kj_0} u_k$ sa zv��uje pri pres�van�
v�hy z~$r$-t�ho v�stupu na~$i$-t� v�stup. Tak�e pre~optim�lne
v�hy v�stupov bude st�le plati�, �e $u_r^* = 0$. Odtia� je
zrejm�, �e $r$-t� v�stup neovplyv�uje efekt�vnos�, t.j. oba
pr�stupy vylu�uj� $r$-t� v�stup z~v�po�tu efekt�vnosti.

Predpokladajme, �e nie je zn�my $i$-t� vstup $j_0$-tej ekonomickej jednotky, �i�e
$x_{ij_0}$ je ch�baj�ce. Pri anal�ze mo�no vynecha� $j_0$-t� ekonomick�
jednotku alebo $i$-t� vstup. Zamerajme sa dve mo�nosti:
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item \label{pristup3} vynechanie $i$-t�ho vstupu pri v�po�te efekt�vnosti $j_0$-tej ekonomickej jednotky (ale vyu�itie
v�etk�ch vstupov, vr�tane $i$-t�ho vstupu, pri v�po�te efekt�vnosti v�etk�ch ostatn�ch ekonomick�ch jednotiek),
\item \label{pristup4} priradenie $x_{ij_0} = M$, $M \gg \max_{i,j} \{x_{ij}\}$.
\end{enumerate}

Pr�stupy \ref{pristup3} a \ref{pristup4} s� ekvivalentn� v~zmysle, �e
pre~v�etky ekonomick� jednotky d�vaj� rovnak� hodnoty efekt�vnosti.

Nech $x_{ij_0} = M$. Ke�e $M \geq \max_{i} \{x_{ij_0}\}$ a
a hodnota $\sum_{k=1}^m x_{kj_0} v_k$ sa nezv��uje pri 
pres�van� v�hy z~$i$-t�ho vstupu na~$r$-t� vstup ($i \ne r$).

Tak�e pre~optim�lne v�hy vstupov bude st�le plati�, �e $v_i^* = 0$. Odtia� je
zrejm�, �e $i$-t� vstup neovplyv�uje efekt�vnos�, t.j. oba
pr�stupy vylu�uj� $i$-t� vstup z~v�po�tu efekt�vnosti.

Druh� a �tvrt� z~t�chto pr�stupov s� v�hodnej�ie z~toho poh�adu, �e
nevy�aduj� z�sah do~u� existuj�ceho softv�ru na~v�po�et
anal�zy obalu �dajov. Hoci v~druhom pr�stupe predstavuje
nula z�stupn� hodnotu pre~pr�zdnu hodnotu, m� z�rove� aj
zmyslupln� interpret�ciu.

Pri anal�zach niektor�ch probl�mov nemus� by� pr�pustn�
pr�ve pop�san� postup, pri ktorom m��e ekonomick� jednotka
skry� svoj slab� v�kon v~niektorej zlo�ke priraden�m nenulov�ch
v�h iba ostatn�m zlo�k�m. M��e by� opodstatnen� po�iadavka,
aby sa vo~v�po�te efekt�vnosti prejavili v�etky d�ta. V
s��asnosti sa pri mnoh�ch anal�zach klad� dodato�n� extern�
obmedzenia na~flexibilitu v�h. Ich preh�ad sa nach�dza napr.
%---------------
v~(\osoba{Allen a i.}, 1997). Ke�e v�hy vstupov hodnotenej ekonomickej
jednotky pri vstupne orientovan�ch modeloch s� normovan�,
aby $\sum_{i=1}^m v_i x_{ij_0} = 1$ a pre~v�hy
v�stupov pri v�stupne orientovan�ch modeloch plat�
$\sum_{r=1}^w u_r y_{rj_0} = 1$,
obmedzenie absol�tnej �rovne v�h vstupov a v�stupov
obvykle nem� zmysel. �tandardnou met�dou modelovania t�chto
obmedzen� je zavedenie podmienok v~tvare podielu
\begin{equation} \label{eqn:14}
a_{hi} \le {u_h \over u_i} \le b_{hi}, \quad
0 < a_{hi} < b_{hi} < 1,
\end{equation}
ktor� charakterizuj� pr�pustn� interval pre~v�hy $h$-t�ho
v�stupu vzh�adom na~v�hy $i$-t�ho v�stupu.

Vy��ie uveden� tvrdenie neplat� pri pou�it� z�stupn�ch hodn�t
0 a $M$ pre~ch�baj�ce v�stupy a vstupy pri zaveden�
tak�chto obmedzen� na~v�hy vstupov a v�stupov. Nielen�e
dodato�n� obmedzenia limituj� m��nos� ekonomickej jednotky
nebra� pri v�po�te efekt�vnosti do~�vahy niektor� (\uv{nepr�jemn�})
vstupy a v�stupy, ale tie� prira�uje z�stupn�m hodnot�m
ch�baj�cich vstupov a v�stupov kladn� v�hy.

K tomu, aby platilo aj pri zaveden�
obmedzen� na~v�hy pri ch�baj�cich hodnot�ch, je nutn�
upusti� od obmedzen� pre~ch�baj�ce hodnoty. �i�e
\begin{equation}\label{eqn:15}
a_{hi} \le {u_h \over u_i} \le b_{hi}, \quad \mbox{pre~} h,i \notin \DD,
\end{equation}
kde $\DD$ je mno�ina indexov ch�baj�cich v�stupov.
Je to s�ce mo�n� uplatni� pri v�po�te efekt�vnosti
pre~ka�d� ekonomick� jednotku osobitne, ale pri
v��om po�te ch�baj�cich hodn�t to nemus� by� �asovo efekt�vne.
R�chlej�� postup popisuje veta~\ref{thm:5} (\osoba{Kuosmanen}, 2002).

\begin{veta}\label{thm:5}
Obmedzenia v�h
$a_{hi} \le {u_h \over u_i} \le b_{hi}, \quad \mbox{pre~}
h,i \notin \DD$, kde $\DD$ je mno�ina indexov ch�baj�cich
v�stupov je mo�n� ekvivalentne modelova� ako dvojicu nerovnost�:
\begin{equation}\label{eqn:16}
\begin{array}{rcl}
(u_h - a_{hi}u_i) \cdot (y_{ik} \cdot y_{hk}) \ge 0\\
(u_h - b_{hi}u_i) \cdot (y_{ik} \cdot y_{hk}) \le 0\\
\end{array}
\end{equation}
\end{veta}
%
\begin{dokaz}
Z~p�vodnej podmienky
$a_{hi} \le {u_h \over u_i} \le b_{hi}, \quad
0 < a_{hi} < b_{hi} < 1$ dost�vame nerovnosti
$(u_h - a_{hi}u_i) \ge 0$ a
$(u_h - b_{hi}u_i) \le 0$.
Tie pren�sob�me s��inom $y_{ik} \cdot y_{hk}$, �o je
mo�n� pova�ova� za exog�nnu kon�tantu. Ak ch�ba $h$-t�
alebo $i$-t� v�stup, potom $y_{ik} \cdot y_{hk} = 0$
a teda podmienky
\begin{eqnarray*}
(u_h - a_{hi}u_i) \cdot (y_{ik} \cdot y_{hk}) \ge 0\\
(u_h - b_{hi}u_i) \cdot (y_{ik} \cdot y_{hk}) \le 0
\end{eqnarray*}
platia pre~v�etky $u$ (�peci�lne aj pre~$u = 0$).

Ak $y_{ik} \cdot y_{hk} > 0$, tak podmienky (\ref{eqn:16})
predstavuj� rovnak� obmedzenie ako (\ref{eqn:14}).
\end{dokaz}
%
V�sledky vety \ref{thm:5} nez�visia na~orient�cii modelu
alebo type v�nosov z~rozsahu. Analogicky je mo�n� dok�za�
podobn� vetu aj pre~ch�baj�ce vstupy. Nech $M$ je z�stupn�
hodnota, $M \gg \max_{i,j} \{x_{ij}\}$. Podmienku typu
\begin{equation}\label{eqn:17}
a_{hi} \le {v_h \over v_i} \le b_{hi}, \quad
\mbox{pre~} h,i \notin \DD
\end{equation}
kde $\DD$ je mno�ina indexov ch�baj�cich vstupov, je mo�n�
ekvivalentne modelova� ako dvojicu nerovnost�
\begin{equation}\label{eqn:18}
\begin{array}{rcl}
(v_h - a_{hi}v_i)\cdot (M-x_{jk})\cdot (M-x_{hk}) \ge 0\\
(v_h - b_{hi}v_i)\cdot (M-x_{jk})\cdot (M-x_{hk}) \le 0\\
\end{array}
\end{equation}
Ak ch�ba $h$-t� alebo $i$-t� vstup, potom
$y_{ik} \cdot y_{hk} = 0$ a teda obe nerovnosti platia
pre~v�etky v�hy $v$, �i�e sa stan� redundantn�mi.
Ak je zn�my $h$-t� aj $i$-t� vstup, tak (\ref{eqn:18})
je ekvivalentn� (\ref{eqn:17}).

Alternat�vnou
mo�nos�ou je reprezentova� neur�it� �daje pomocou 
charakteristick�ch funkci� fuzzy mno��n (\osoba{Zadeh}, 1978),
(\osoba{Zimmermann}, 1996). Charakteristick� funkcia 
prezentuje subjekt�vnu �rove� stup�a v�skytu javu. Intuit�vne,
ak pozorovanie je neur�it�, potom aj efekt�vnos�
relevantnej jednotky je neur�it�. Naviac
ak jednotka le�� na~hranici produk�n�ch mo�nost�,
potom efekt�vnos� jednotiek, pre~ktor�
vystupuje ako referen�n� jednotka, je tie� neur�it�.

Pokia� ch�ba �daj o~vstupe $x_{ij}$ resp. v�stupe $y_{rj}$ niektorej jednotky, je mo�n� ho reprezentova�
fuzzy mno�inou $\overline{X}_{ij}$ resp. $\overline{Y}_{rj}$ s~charakteristickou funkciou
$\mu_{\overline{X}_{ij}}$ resp. $\mu_{\overline{Y}_{rj}}$. Ch�baj�ca hodnota sa d� z�ska�
konzult�ciou s~expertmi, ktor� ur�ia najmen�iu, najv��iu a najpravdepodobnej�iu hodnotu.
Po nahraden� v�etk�ch ch�baj�cich hodn�t tak�mto sp�sobom je mo�n� pou�i� fuzzy
anal�zu obalu �dajov, ktor� vytvoril \osoba{Kao} a \osoba{Liu} (1999). Pod�a Zadehovho
roz�iruj�ceho princ�pu (\osoba{Zadeh}, 1978), (\osoba{Zimmermann}, 1996) sa d� charakteristick�
funkcia efekt�vnosti jednotky $j_0$ definova� ako
$$\mu_{\overline{h}_{j_0}}(z) = \sup_{\vec{x}, \vec{y}} \min \{\mu_{\overline{X}_{ij}}(x_{ij}),
\mu_{\overline{Y}_{rj}}(y_{rj}), \forall i,j,k | h_{j_0}(\vec{x},\vec{y})\}$$
kde $h_{j_0}(\vec{x}, \vec{y})$ sa vypo��ta pod�a modelu (\ref{model:10}).

Pri nedostupnosti experta resp. pri snahe vych�dza� z~experiment�lne
nameran�ch d�t sa odpor��a ako doln� odhad vzia� st�pcov� minimum, �i�e
$x_{ij_0}^L = \min_j \{x_{ij}\}$ resp. $y_{rj_0}^L = \min_j \{y_{rj}\}$,
ako horn� odhad sa d� pou�i� st�pcov� maximum $x_{ij_0}^U = \max_j \{x_{ij}\}$ resp.
$y_{rj_0}^U = \max_j \{y_{rj}\}$ a ako najpravdepodobnej�ia hodnota st�pcov� medi�n,
�i�e $x_{ij_0}^M = \median_j \{x_{ij}\}$ resp. $y_{rj_0}^M = \median_j \{y_{rj}\}$.
Potom $\alpha$-rez kore�ponduj�cej charakteristickej funkcie je definovan� takto:
\begin{eqnarray*}
\left\langle (x_{ij_0})_\alpha^L, (x_{ij_0})_\alpha^U \right\rangle & = &
\left\langle (x_{ij_0})_\alpha^L + (x_{ij_0}^M - x_{ij_0}^L)\alpha,
(x_{ij_0})_\alpha^U + (x_{ij_0}^U - x_{ij_M}^L)\alpha\right\rangle\\
%
\left\langle (y_{rj_0})_\alpha^L, (y_{rj_0})_\alpha^U \right\rangle & = &
\left\langle (y_{rj_0})_\alpha^L + (y_{rj_0}^M - y_{rj_0}^L)\alpha,
(y_{rj_0})_\alpha^U + (y_{rj_0}^U - y_{rj_M}^L)\alpha\right\rangle
\end{eqnarray*}

\begin{df} %nejaka....
\osoba{Kao} (1999, s. 174) formuloval nasleduj�ce modely. Pod doln�m
odhadom efekt�vnosti jednotky $j_0$ pri $\alpha$-reze, $\alpha \in \langle 0,1 \rangle$, budeme rozumie� 
hodnotu~$(h_{j_0})_\alpha^L$
%
\begin{model}\label{model:28}
(h_{j_0})_\alpha^L & = & \max_{\vec{u}, \vec{v}} \displaystyle\frac{\sum_{r=1}^w u_r \cdot (y_{rj_0})_\alpha^L}
{v_0 + \sum_{i=1}^m v_i \cdot (x_{ij_0})_\alpha^U} \label{index7}\\
\displaystyle\frac{\sum_{r=1}^w u_r \cdot (y_{rj_0})_\alpha^L} 
{v_0 + \sum_{i=1}^m v_i \cdot (x_{ij_0})_\alpha^U} & \le & 1, \quad j=1, \dots, n \nonumber\\
\displaystyle\frac{\sum_{r=1}^w u_r \cdot (y_{rj})_\alpha^U}
{v_0 + \sum_{i=1}^m v_i \cdot (x_{ij})_\alpha^L} & \le & 1, \quad j=1,\dots,j_0 - 1, j_0 + 1,\dots n \nonumber\\
u_r, v_i & \ge & 0,\quad r=1,\dots,w; i=1,\dots,m, \nonumber
\end{model}
kde $\langle (x_{ij})_\alpha^L, (x_{ij})_\alpha^U \rangle$
a $\langle (y_{rj})_\alpha^L, (y_{rj})_\alpha^U \rangle$ s�
$\alpha$-rezmi $\overline{X}_{ij}$, $i=1,\dots,m$, $j=1,\dots,n$, resp. $\overline{Y_{rj}}$,
$r=1,\dots,w$, $j=1,\dots,n$.

Pod horn�m odhadom efekt�vnosti jednotky $j_0$ pri $\alpha$-reze budeme rozumie� hodnotu $(h_{j_0})_\alpha^U$
\begin{model}\label{model:29}
(h_{j_0})_\alpha^U & = & \max_{\vec{u},\vec{v}} 
\displaystyle\frac{\sum_{r=1}^w u_r \cdot (y_{rj_0})_\alpha^U}
{v_0 + \sum_{i=1}^m v_i \cdot (x_{ij_0})_\alpha^L}\\
\displaystyle\frac{\sum_{r=1}^w u_r \cdot (y_{rj_0})_\alpha^U}
{v_0 + \sum_{i=1}^m v_i \cdot (x_{ij_0})_\alpha^L} & \le & 1, \quad j=1, \dots, n\\
\displaystyle\frac{\sum_{r=1}^w u_r \cdot (y_{rj})_\alpha^L}
{v_0 + \sum_{i=1}^m v_i \cdot (x_{ij})_\alpha^U} & \le & 1, \quad j=1,\dots,j_0 - 1, j_0 + 1,\dots n\\
u_r, v_i & \ge & 0,\quad r=1,\dots,w; i=1,\dots,m,
\end{model}
kde $\langle (x_{ij})_\alpha^L, (x_{ij})_\alpha^U \rangle$
a $\langle (y_{rj})_\alpha^L, (y_{rj})_\alpha^U \rangle$ s�
$\alpha$-rezmi $\overline{X}_{ij}$, $i=1,\dots,m$, $j=1,\dots,n$, resp. $\overline{Y_{rj}}$,
$r=1,\dots,w$, $j=1,\dots,n$.
\end{df}

Charakteristick� funkcia efekt�vnosti jednotky $j_0$, �i�e $\mu_{\overline{h}_{j_0}}$ sa d�
skon�truova� z~intervalu $\langle (h_{j_0})_\alpha^L, (h_{j_0})_\alpha^U \rangle$  pri rozli�n�ch
$\alpha$-rezoch.

Je zrejm�, �e pri tvorbe modelov (\ref{model:28}) a (\ref{model:29}) \osoba{Kao} (1999)
pou�il rovnak� princ�py ako \osoba{Despotis} a \osoba{Smirlis} (2002) v~modeli
(\ref{index4}) a (\ref{model:10}). Korektnos� Kaovho pr�stupu vypl�va z~liem
1 a� 4.
%--------------------------------------------------------------------------
% Sekcia V.
%--------------------------------------------------------------------------
\chapter{Hodnotenie technickej efekt�vnosti vybran�ch slovensk�ch b�nk}

Praktick�m vyu�it�m anal�zy obalu nepresn�ch �dajov 
m��e by� anal�za technickej efekt�vnosti b�nk. Na 
ilustr�ciu sme pou�ili slovensk� banky. �daje boli 
�erpan� z~v�ro�n�ch spr�v zverejnen�ch na~internete (zoznam
informa�n�ch zdrojov sa nach�dza v~pr�lohe). 
Pou�ili sa �daje z~��tovn�ctva pod�a opatrenia Ministerstva 
financi� SR. Ak bola vo~v�ro�nej spr�ve uveden� aj 
konsolidovan� ��tovn� z�vierka, pou�ili sa �daje 
z~nej. Ak nie, �daje z~nekonsolidovanej ��tovnej 
z�vierky.

Pre~anal�zu boli zvolen� ako ekonomick� vstupy vlastn� 
kapit�l, mzdy, platen� �roky. Ako ekonomick� v�stup boli
vybran� prijat� �roky. 
Ako je zrejm� z~tab. 1, z~dan�ch zdrojov nebolo mo�n� 
z�ska� �pln� �daje, ktor� by boli n�sledne 
pou�it� pri anal�ze obalu presn�ch �dajov. Presn� 
�daje by bolo pravdepodobne mo�n� z�ska� z~datab�zy 
BankScope firmy Bureau van Dijk, ale minim�lna verzia tejto datab�zy 
stoj� asi 7\,000 EUR ro�ne. Preto boli na~anal�zu technickej 
efekt�vnosti pou�it� modifikovan� met�dy anal�zy 
obalu �dajov.

\begin{tabulka}{|p{4cm}|r|r|r|r|r|r|r|}{Ekonomick� vstupy a v�stupy vybran�ch slovensk�ch b�nk (v mil. Sk)}
\hline
\hfil\multirow{2}{*}{\thead{Banka}}& \multicolumn{3}{|c|}{\thead{vstupy}} & \multicolumn{1}{|c|}{\thead{v�stupy}}  \\
\cline{2-5}
&  \thead{vlastn� kapit�l} &  \thead{mzdy}  & \thead{platen� �roky} & \thead{prijat� �roky} \\\hline
Banka Slovakia  &  800  & &  161 &  221  \\\hline
Credit Lyonnais  &  628  &  34  &  & \\\hline
�SOB  &  41 023  &  4448  &  19897 &  34936 \\\hline
�SOB stavebn� sporite��a  &  555  &  50  &  66 &  196  \\\hline
HVB bank  &  5 012  &  185  &  1369 &  2707 \\\hline
Komer�n� banka  &  556  &  51  &  300 &  434\\\hline
OTP banka  &  1 044  &  263  & &  \\\hline
Po�tov� banka  &  1 660  & & & \\\hline
Prv� komun�lna banka  &  1 369  & & & \\\hline
Prv� stavebn� sporite��a  &  3 413  &  285  &  835&  1951  \\\hline
Tatra banka  &  10 848  &   &  3691&  4769  \\\hline
UniBanka  &  2 718  &  & & \\\hline
V�eobecn� �verov� banka  &  16 333  &  &  6492 &  6545\\\hline
V�B W�stenrot  &  1 287  & &  227&  637 \\\hline
\end{tabulka}

Prvou mo�nos�ou je namiesto vstupov a v�stupov 
pou�i� z�stupn� (crisp) hodnotu (konkr�tne ��slo), ako to navrhuje
\osoba{Kuosmanen} (2002), �o v~nasleduj�cich tabu�k�ch ozna��me
ako crisp pr�stup. Ch�baj�ce vstupy sa nahradia 
��slom $M \gg \max \limits_{i,j} \{x_{ij}\}$ a 
v�stupy ��slom 0.
Pri v�po�te bolo $M = \mbox{1\,000\,000}$~mil.~Sk. 

Druhou mo�nos�ou je za ch�baj�ce �daje pou�i� interval 
dan� st�pcov�m maximom a minimom $\left\langle \min\limits_j \{ x_{i_0 j} \}; 
\max_j \left\{ {x_{i_0 j} } \right\} \right\rangle$ resp. 
$\left\langle \min\limits_j \left\{ {y_{r_0 j} } \right\};
\max_j \left\{y_{r_0 j} \right\} \right\rangle $, ako to 
navrhuje \osoba{Kao} (2000), �o predstavuje fuzzy pr�stup pre~$\alpha = 0$.

Efekt�vnos� jednotliv�ch b�nk vypo��tan� 
pomocou modelu (\ref{model:27}), kde sme ch�baj�ce
hodnoty dosadili pomocou pr�stupu navrhnut�ho 
v~(\osoba{Kuosmanen}, 1999) a pomocou modelov
(\ref{model:28}) a (\ref{model:29}) v~MS Exceli
sa nach�dza v~tab. 2. 

Pre~banky, ktor�ch objem v�stupu nepozn�me, nebol uskuto�nen� v�po�et,
lebo pri crisp pr�stupe sa za ch�baj�ce v�stupy dosadzuje nula.
Av�ak podmienkou ka�d�ho modelu je, aby sk�man� ekonomick� jednotka
mala aspo� jeden kladn� vstup a aspo� jeden kladn� v�stup.

%Ako v�stupy boli zvolen� 
%prijat� �roky a prijat� poplatky a prov�zie. Vstupy s� 
%vlastn� kapit�l, platen� �roky, platen� poplatky a 
%prov�zie. V modeloch boli zaraden� �daje bu� o mzd�ch alebo 
%o po�te zamestnancov -- ako kvantitat�vna a kvalitat�vna 
%str�nka toho ist�ho vstupu.

\begin{tabulka}{|l|r|r|r|r|}{Technick� efekt�vnos� b�nk}
\hline
\theadc{Banka} & \thead{crisp pr�stup} & \thead{fuzzy pr�stup}\\\hline
Banka Slovakia & 1,0000 & $\langle 0,0050;0,6520\rangle$ \\\hline
Credit Lyonnais && $\langle 0,0118;1,0000\rangle$ \\\hline
�SOB & 1,0000 & $\langle 0,0153;1,0000\rangle$ \\\hline
�SOB stavebn� sporite��a & 1,0000 & $\langle 0,0063;1,0000\rangle$ \\\hline
HVB bank & 1,0000 & $\langle 0,0141;1,0000\rangle$ \\\hline
Komer�n� banka & 0,9979 & $\langle 0,0140;0,9979\rangle$ \\\hline
OTP banka & &$\langle 0,0034;1,0000\rangle$ \\\hline
Po�tov� banka && $\langle  0,0021;1,0000\rangle$ \\\hline
Prv� komun�lna banka &&$\langle 0,0026;1,0000\rangle$ \\\hline
Prv� stavebn� sporite��a & 1,0000 & $\langle 0,0103;1,0000\rangle$ \\\hline
Tatra banka & 0,6433 & $\langle 0,0079;1,0000\rangle$ \\\hline
UniBanka && $\langle 0,0013;1,0000\rangle$ \\\hline
V�eobecn� �verov� banka & 0,5344 & $\langle 0,0072;1,0000\rangle$ \\\hline
V�B W�stenrot & 1,0000 & $\langle 0,0089;1,0000\rangle$\\\hline
\end{tabulka}  

Inou mo�nos�ou je vyu�i� vz�ahy medzi ��tami a u�tovn�mi triedami. 
Napr. mzdy s� s��as�ou 
v�eobecn�ch prev�dzkov�ch n�kladov, mzdy a soci�lne 
n�klady spolu d�vaj� n�klady na~zamestnancov, platen� 
�roky a platen� poplatky a prov�zie s� finan�n� 
n�klady, prijat� �roky a prijat� poplatky a prov�zie 
s� finan�n� v�nosy. Z~t�chto vz�ahov s~vyu�it�m 
presn�ch �dajov o~ostatn�ch bank�ch, je mo�n� 
zostroji� intervaly pre~ch�baj�ce �daje, ktor� ich bud� 
realistickej�ie vystihova�.

Podiel miezd na~v�eobecn�ch prev�dzkov�ch n�kladoch 
b�nk, o~ktor�ch m�me presn� inform�cie, sa nach�dza 
v~tab. 3.

\begin{tabulka}{|l|r|r|r|}{Podiel miezd na~v�eobecn�ch prev�dzkov�ch n�kladoch}
\hline
\theadc{Banka} & \parbox{2cm}{\hphantom{�}\thead{v�eobecn� prev�dzkov� n�klady (v~mil. Sk)}} & \parbox{2cm}{\hphantom{�}\thead{z toho mzdy\\(v~mil. Sk)}} & \parbox{2cm}{\hphantom{�}\thead{podiel miezd na~v�eobecn�ch prev�dz. n�kladoch}} \\[24pt]
\hline
Credit Lyonnais &    155,464 &     33,696 &      0,217 \\
\hline
      �SOB &  15 569,71 &   4 448,20 &      0,286 \\
\hline
  HVB bank &    696,736 &    184,771 &      0,265 \\
\hline
Komer�n� banka &    174,218 &      51,43 &      0,295 \\
\hline
 OTP banka &    863,402 &      263,1 &      0,305 \\
\hline
Prv� stavebn� sporite��a &    932,346 &    284,936 &      0,306 \\
\hline
  Interval & \multicolumn{3}{|r|}{$\langle$0,217; 0,306$\rangle$} \\
\hline
\end{tabulka}  

Na z�klade takto z�skan�ho intervalu je mo�n� 
us�di�, �e mzdy predstavuj� vo~V�B ��slo z~intervalu 
$\langle 885{,}435; 1 248{,}471\rangle$.

Niektor� banky neuviedli priamo mzdy, ale n�klady na~zamestnancov. V 
tab. 4 sa nach�dzaj� podiely soci�lnych n�kladov ku 
mzd�m.

\begin{tabulka}{|l|r|r|r|}{Podiel soci�lnych n�kladov na~mzd�ch}
\hline
\theadc{Banka} & \thead{mzdy (v~mil. Sk)} & \thead{soci�lne n�klady (v~mil. Sk)} & \tcell{2.5cm}{\thead{soci�lne n�klady / mzdy}} \\
\hline
Credit Lyonnais &     33,696 &      5,973 &      0.177 \\
\hline
      �SOB &   4 448,20 &   1 643,79 &      0.370 \\
\hline
�SOB stavebn� sporite��a &     50,332 &     13,371 &      0,266 \\
\hline
  HVB bank &    184,771 &     42,664 &      0,231 \\
\hline
Komer�n� banka &      51,43 &     13,709 &      0.267 \\
\hline
 OTP banka &      263,1 &     82,516 &      0.314 \\
\hline
Prv� stavebn� sporite��a &    284,936 &     57,151 &      0.201 \\
\hline
  Interval &\multicolumn{3}{|r|}{$\langle$0,177; 0,370$\rangle$} \\
\hline
\end{tabulka}  

S pou�it�m z�skan�ho intervalu z~�dajov v~tab. 4 je 
mo�n� zostroji� intervaly pre~ve�kos� miezd v~ostatn�ch 
bank�ch. Tieto intervaly sa nach�dzaj� v~tab. 5.

\begin{tabulka}{|l|r|r|}{Projekcia miezd (v~mil. Sk)}
\hline
\theadc{Banka} & \thead{mzdy a soci�lne n�klady} & \thead{mzdy - interval} \\
\hline
Banka Slovakia &     42,223 & $\langle$30,830; 35,865$\rangle$ \\
\hline
Po�tov� banka &    217,831 & $\langle$159,054; 185,032$\rangle$ \\
\hline
Prv� komun�lna banka &    228,278 & $\langle$166,682; 193,906$\rangle$ \\
\hline
Tatra banka &   1 280,45 & $\langle$934,947; 1 087,648$\rangle$ \\
\hline
  UniBanka &    319,334 & $\langle$233,169; 271,252$\rangle$ \\
\hline
V�B W�stenrot &         98 & $\langle$71,557; 83,244$\rangle$ \\
\hline
\end{tabulka}  

V niektor�ch bank�ch vykazuj� finan�n� zisk v~delen� 
na~prijat� �roky, prijat� poplatky a prov�zie, platen� 
�roky a platen� poplatky a prov�zie. In� banky bu� 
vykazuj� len finan�n� n�klady a finan�n� v�nosy alebo 
pou��vaj� in� delenie, z~ktor�ho je v�ak 
mo�n� spo��ta� finan�n� n�klady a finan�n� 
v�nosy.

Podiel �rokov a poplatkov a prov�zi� sa l�i medzi 
bankami zaoberaj�ci sa v�eobecn�m bankovn�ctvom a 
stavebn�mi sporite��ami. Preto nie s� do~tab. 6 a 8
zahrnut� �daje o~�SOB stavebnej sporite�ni a Prvej stavebnej 
sporite�ni. V tab. 6 sa nach�dzaj� �daje o~platen�ch 
�rokoch, platen�ch poplatkoch a prov�ziach.

\begin{tabulka}{|l|r|r|r|}{Vz�ah platen�ch �rokov a platen�ch poplatkov a prov�zi�}
\hline
\theadc{Banka} & \tcell{2.5cm}{\thead{platen� �roky\\(v~mil. Sk)}}& \parbox{3cm}{\thead{platen� poplatky a prov�zie (v~mil. Sk)}}  & \tcell{2.3cm}{\thead{platen� �roky / finan�n� n�klady}} \\
\hline
Banka Slovakia &    160,594 &      4,642 &      0,972 \\
\hline
      �SOB &    19 897,119 &   1 903,33 &      0,913 \\
\hline
  HVB bank &   1 369,15 &     41,663 &       0,97 \\
\hline
Komer�n� banka &     300,35 &      5,486 &      0,982 \\
\hline
V�eobecn� �verov� banka &   6 491,59 &    241,122 &      0,964 \\
\hline
  Interval &\multicolumn{3}{|r|}{$\langle$0,913; 0,982$\rangle$} \\
\hline
\end{tabulka}  

V tab.~7 sa nach�dzaj� intervaly pre~platen� �roky zostrojen� s~vyu�it�m 
intervalu z�skan�ho z~tab.~6. 

\begin{tabulka}{|l|r|r|r|}{Projekcia platen�ch �rokov a platen�ch poplatkov a prov�zi� (v~mil. Sk)}
\hline
\theadc{Banka} & \tcell{3cm}{\thead{platen� �roky a platen� poplatky a prov�zie}} & \tcell{3cm}{\thead{platen� �roky -- interval}} \\
\hline
Credit Lyonnais &  30 477,29 & $\langle$27 816,409; 29 930,594$\rangle$ \\
\hline
 OTP banka &   1 158,11 & $\langle$1 056,998; 1 137,335$\rangle$\\
\hline
Po�tov� banka &   1 208,70 & $\langle$1 103,175; 1 187,022$\rangle$\\
\hline
Prv� komun�lna banka &   1 046,14 & $\langle$954,804; 1 027,374$\rangle$ \\
\hline
  UniBanka &   7 046,66 & $\langle$6 431,438; 6 920,259$\rangle$ \\
\hline
\end{tabulka}  

Analogicky sa zostroj� interval pre~prijat� �roky. �daje sa nach�dzaj� v~tab.~8.

\begin{tabulka}{|l|r|r|r|}{Vz�ah prijat�ch �rokov a prijat�ch poplatkov a prov�zi�}
\hline
\theadc{Banka} & \tcell{2cm}{\thead{prijat� �roky (v~mil. Sk)}} & \tcell{2cm}{\thead{prijat� poplat\-ky a prov�zie (v~mil. Sk)}} & \tcell{2.1cm}{\thead{prijat� �roky / finan�n� v�nosy}} \\[15pt]
\hline
Banka Slovakia &    220,726 &     10,646 &      0,954 \\
\hline
      �SOB &  34 936,09 &   7 150,13 &       0,83 \\
\hline
  HVB bank &   2 707,40 &    164,503 &      0,943 \\
\hline
Komer�n� banka &    434,037 &     40,434 &      0,915 \\
\hline
V�eobecn� �verov� banka &   6 545,28 &   1 768,25 &      0,787 \\
\hline
  Interval & \multicolumn{3}{|r|}{$\langle$0,787; 0,954$\rangle$} \\
\hline
\end{tabulka}  

Intervaly, ktor� sa nach�dzaj� v~tab. 9 s� zostrojen� s~pomocou intervalu z�skan�ho z~tab.~8.

\begin{tabulka}{|l|r|r|r|}{Projekcia prijat�ch �rokov a prijat�ch poplatkov a prov�zi� (v~mil. Sk)}
\hline
\theadc{Banka} & \tcell{2cm}{\thead{prijat� �roky a prijat� poplat\-ky a prov�zie}} & \multicolumn{1}{c|}{\parbox{3cm}{\thead{prijat� �roky -- interval}}} \\[15pt]
\hline
Credit Lyonnais &  30 222,81 & $\langle$23 794,553; 28 832,184$\rangle$ \\
\hline
 OTP banka &   1 917,51 & $\langle$1 509.663; 1 829,279$\rangle$ \\
\hline
Po�tov� banka &   2 284,38 & $\langle$1 798,499; 2 179,265$\rangle$ \\
\hline
Prv� komun�lna banka &   2 302,51 & $\langle$1 812,774; 2 196,563$\rangle$ \\
\hline
  UniBanka &   8 755,69 & $\langle$6 893,390; 8 352,815$\rangle$ \\
\hline
\end{tabulka}  

Vypo��tan� intervaly sa zaradili do~tab. 1 na~miesta 
ch�baj�cich �dajov. V tab. 10 sa nach�dzaj� aj �daje 
o~presnom s��te alebo rozdiele dvoch premenn�ch, ktor� bolo 
mo�n� presne z�ska� z~v�ro�n�ch spr�v. 
%
\begin{tabulka}{|p{4cm}|r|r|r|r|r|r|r|}{Ekonomick� vstupy a v�stupy vybran�ch slovensk�ch b�nk (v~mil. Sk)}
\hline
\hfil\multirow{2}{*}{\thead{Banka}}& \multicolumn{3}{|c|}{\thead{vstupy}} & \multicolumn{1}{|c|}{\thead{v�stupy}}  \\
\cline{2-5}
&  \thead{vlastn� kapit�l} & \thead{mzdy} & \thead{platen� �roky} & \thead{prijat� �roky}  \\\hline
Banka Slovakia  &  800  & $\langle 31;36 \rangle$ &  161 &  221  \\\hline
Credit Lyonnais  &  628  &  34  &  $\langle 27816; 29931\rangle$   & $\langle 23795;  28832 \rangle$\\\hline
�SOB  &  41 023  &  4448  &  19897 &  34936 \\\hline
�SOB stavebn� sporite��a  &  555  &  50  &  66 &  196  \\\hline
HVB bank  &  5 012  &  185  &  1369 &  2707 \\\hline
Komer�n� banka  &  556  &  51  &  300 &  434\\\hline
OTP banka  &  1 044  &  263  & $\langle  1057; 1137\rangle$   &  $\langle 1510; 1829 \rangle$ \\\hline
Po�tov� banka  &  1 660  & $\langle 159;185 \rangle$ & $\langle 1103; 1187\rangle$   & $\langle 1798;  2179 \rangle$ \\\hline
Prv� komun�lna banka  &  1 369  & $\langle  167;194 \rangle$  & $\langle 955; 1027 \rangle$  & $\langle 1813; 2197 \rangle$ \\\hline
Prv� stavebn� sporite��a  &  3 413  &  285  &  835&  1951  \\\hline
Tatra banka  &  10 848  &  $\langle 935;1088 \rangle$ &  3691&  4769  \\\hline
UniBanka  &  2 718  &  $\langle 233;271 \rangle$ & $\langle 6431; 6920 \rangle$ & $\langle 6893; 8353 \rangle$  \\\hline
V�eobecn� �verov� banka  &  16 333  &  $\langle 885;1248 \rangle$  &  6492 &  6545\\\hline
V�B W�stenrot  &  1 287  & $\langle 72;83 \rangle$ &  227&  637 \\\hline
\end{tabulka}

V tab. 11 sa nach�dza efekt�vnos� z�skan� pomocou 
anal�zy obalu intervalov�ch �dajov uveden�ch v~tab. 10.

\begin{tabulka}{|l|r|r|r|c|}{Technick� efekt�vnos� b�nk}
\hline
\theadc{Banka} & \theadc{crisp pr�stup} & \theadc{fuzzy pr�stup} & \theadc{dopo��tanie intervalov}\\\hline
Banka Slovakia & 1,0000 & $\langle 0,0050;0,6520\rangle$ & $\langle 0,5550; 0,6300 \rangle$ \\\hline
Credit Lyonnais && $\langle 0,0118;1,0000\rangle$& $\langle 1,0000; 1,0000 \rangle$ \\\hline
�SOB & 1,0000 & $\langle 0,0153;1,0000\rangle$ & $\langle 0,7391; 0,9051 \rangle$ \\\hline
�SOB stavebn� sporite��a & 1,0000 & $\langle 0,0063;1,0000\rangle$ & $\langle 1,0000; 1,0000 \rangle$\\\hline
HVB bank & 1,0000 & $\langle 0,0141;1,0000\rangle$ & $\langle 0,9820; 1,0000 \rangle$\\\hline
Komer�n� banka & 0,9979 & $\langle 0,0140;0,9979\rangle$ & $\langle 0,6348; 0,8072 \rangle$\\\hline
OTP banka & &$\langle 0,0034;1,0000\rangle$ & $\langle 0,7219; 1,0000 \rangle$ \\\hline
Po�tov� banka && $\langle  0,0021;1,0000\rangle$ & $\langle 0,6998; 1,0000 \rangle$ \\\hline
Prv� komun�lna banka &&$\langle 0,0026;1,0000\rangle$ & $\langle 0,9317; 1,0000 \rangle$\\\hline
Prv� stavebn� sporite��a & 1,0000 & $\langle 0,0103;1,0000\rangle$ & $\langle 0,8929; 0,9630 \rangle$ \\\hline
Tatra banka & 0,6433 & $\langle 0,0079;1,0000\rangle$ & $\langle 0,5209; 0,6016 \rangle$\\\hline
UniBanka && $\langle 0,0013;1,0000\rangle$ & $\langle 0,7584; 1,0000 \rangle$\\\hline
V�eobecn� �verov� banka & 0,5344 & $\langle 0,0072;1,0000\rangle$ & $\langle 0,4264; 0,5679 \rangle$ \\\hline
V�B W�stenrot & 1,0000 & $\langle 0,0089;1,0000\rangle$ & $\langle 1,0000; 1,0000 \rangle$\\\hline
\end{tabulka}

Vypo��tali sme technick� efekt�vnos� troma pr�stupmi. Pri crisp pr�stupe sa javia ako efekt�vne
Banka Slovakia, �SOB, �SOB stavebn� sporite��a, HVB bank, Prv� stavebn� sporite��a a V�B W�stenrot.
Horn� medzu intervalu efekt�vnosti rovn� jednej mali okrem Banky Slovakia a Komer�nej banky
pri fuzzy pr�stupe v�etky sk�man� banky. 
Pri tre�om pr�stupe s� efekt�vnymi bez vplyvu nepresnosti �dajov Credit Lyonnais, �SOB stavebn� sporite��a
a V�B W�stenrot. Horn� medzu efekt�vnosti rovn� jednej dosiahli HVB bank, OTP banka, Po�tov� banka,
Prv� komun�lna banka a UniBanka.

V�sledky t�chto troch pr�stupov nie s� celkom konzistentn�. Tieto modely s� podporn�mi n�strojmi,
ale neposkytuj� jednozna�n� z�very. Nev�hodou crisp pr�stupu je, �e nie je mo�n� vypo��ta� efekt�vnos�
ekonomick�ch jednotiek, u ktor�ch nepozn�me �iadne vstupy alebo �iadne v�stupy.
Slabou str�nkou fuzzy pr�stupu je stanovenie intervalov na~z�klade st�pcov�ch min�m a max�m,
ak ch�baj� �daje o~tom istom vstupe alebo v�stupe viacer�m ekonomick�m jednotk�m.
Projekciu intervalov mo�no uskuto�ni� iba pri dostupnosti dodato�n�ch inform�ci� o~�dajoch,
u ktor�ch je funk�n� z�vislos� s~ch�baj�cimi �dajmi.



\vfill
%-----------------------------------------------------------------------------------------
%-----------------------------------------------------------------------------------------
%-----------------------------------------------------------------------------------------
%------------------------------------------------------
% ZAVER
%------------------------------------------------------
\chapter*{Z�ver}\addcontentsline{toc}{chapter}{Z�ver}

Anal�za obalu �dajov, ako sp�sob merania technickej efekt�vnosti,
bola navrhnut� v~roku 1978 Charnesom, Cooperom a Rhodesom.
Vy�adovala v�ak presn� �daje o~v�etk�ch ekonomick�ch vstupoch a
v�stupoch v�etk�ch sk�man�ch ekonomick�ch jednotiek.

Cie�om pr�ce bolo poskytn�� preh�ad s��asn�ho stavu rozpracovania
anal�zy obalu �dajov s~nepresn�mi d�tami.

Jedn�m z~druhov uva�ovan�ch nepresn�ch d�t s� intervalov� �daje. S�
to �daje, ktor�ch hodnota nie je presne zn�ma, ale je zn�my
interval, v~ktorom sa pr�slu�n� hodnota nach�dza. V�eobecn� model,
ktor� na~anal�zu obalu intervalov�ch �dajov navrhli 
\osoba{Cooper}, \osoba{Park} a \osoba{Yu} (1999), v�ak vy�adoval
stanovenie dodato�n�ch podmienok na~v�hy v�etk�ch vstupov a v�stupov. 

\osoba{Despotis} a \osoba{Smirlis} (2002) prezentovali analogick�
v�eobecn� model bez dodato�n�ch podmienok na~v�hy vstupov a v�stupov.
Tento v�eobecn� model bol neline�rny. V pr�ci sa podarilo dok�za�
vlastnosti efekt�vnosti v~z�vislosti od v�beru �rovne ekonomick�ch
vstupov a v�stupov. Na z�klade t�chto tvrden� bolo mo�n� previes�
t�to neline�rnu �lohu na~�lohu line�rneho programovania.

Druh�m typom nepresn�ch d�t s� ch�baj�ce �daje. V te�rii boli
rozpracovan� pr�stupy vyu��vaj�ce crisp (\osoba{Kuosmanen}, 2002) 
a fuzzy (\osoba{Kao}, 1999) z�stupn� hodnoty. Dok�zan� vlastnosti
efekt�vnosti ukazuj� korektnos� Kaovho pr�stupu.
%
\newpage
\begin{thebibliography}{999}\addcontentsline{toc}{chapter}{Literat�ra}
\bibitem{aigner} \osoba{Aigner, D.} - \osoba{Lovell, C. A. K.} - \osoba{Schmidt, P.}: Formulation and estimation of stochastic frontier production function models. \textit{Journal of Econometrics}, 6, 1977, �. 1, s. 21-37.
\bibitem{allen} \osoba{Allen, R.} - \osoba{Athanassopoulos, A. D.} - \osoba{Dyson, R. G.} - \osoba{Thanassoulis, E.}: Weight restrictions and value judgements in DEA: Evolution, development and future directions. \textit{Annals of Operations Research}, 73, 1997, s. 13--34.
\bibitem{al-faraj} \osoba{Al-Faraj, T. N.} - \osoba{Alidi, A. S.} - \osoba{Bu-Bshait, K. A.}: Evaluation of Bank Branches by Means of Data Envelopment Analysis. \textit{International Journal of Operations \& Production Management}, 13, 1993, �. 9, s. 45--52.
\bibitem{annova} \osoba{Annov�, A.}: \textit{Met�da DEA a jej aplik�cie}. Diplomov� pr�ca. Ko�ice: Pr�rodovedeck� fakulta Univerzity P. J. �af�rika, 1998.
\bibitem{banker} \osoba{Banker, R. D. - Charnes, A. - Cooper, W. W.}: Some models for estimating technical and scale inefficiency in data envelopment analysis. \textit{Management Science}, 39, 1984, �. 10, s. 1265--1273.
\bibitem[\osoba{Banker} a i. (1989)]{banker2} \osoba{Banker, R. D.}, \osoba{Charnes, A.}, \osoba{Cooper, W. W.}, \osoba{Swarts, J.}, \osoba{Thomas, D. A.}: An introduction to Data Envelopment Analysis with some of its models and their uses. \textit{Research in Governmental and Nonprofit Accounting}, 5, 1989, s. 139.
\bibitem{barr} \osoba{Barr, R.} - \osoba{Lawrence S.} - \osoba{Seiford M.} - \osoba{Siems, T. F.}: An Envelopment-Analysis Approach to Measuring the Managerial Quality of Banks. \textit{Annals Of Operations Research}, 45, 1993, s. 1--19.
\bibitem{berrer} \osoba{Berrer, H.}: \textit{Ranking und Effizienzanalyse (DEA) von Str�mungsmessbl�ttern f�r Einlassgeometrien bei Zylinderk�pfen}. Diplomov� pr�ca. Wien: Technische Universit�t Wien, 2002.
\bibitem{boufounou} \osoba{Boufounou, P. V.}: Evaluating Bank Branch Location and Performance -- a Case-Study. \textit{European Journal Of Operational Research}, 87, 1995, �. 2, s. 389--402.
\bibitem{brockett} \osoba{Brockett, P. L.} - \osoba{Cooper, W. W.} - \osoba{Golden, L. L.} a i.: DEA evaluations of the efficiency of organizational forms and distribution systems in the US property and liability insurance industry. \textit{International Journal of System Science}, 29, 1998, �. 11, s. 1235--1247.
\bibitem{budinsky} \osoba{Budinsk�, J.} - \osoba{Dvo��k, J.} - \osoba{Gran�ai, M.}: Hodnotenie efekt�vnosti stredoeur�pskych b�nk. \textit{Ekonomick� rozh�ady}, 32, 2003, �. 4, s. 467-480.
\bibitem{cechlarova} \osoba{Cechl�rov�, K.} - \osoba{Semani�in, G.}: \textit{Line�rna optimaliz�cia.} Ko�ice: Edi�n� stredisko Univerzity P. J. �af�rika v~Ko�iciach, 1999.
\bibitem{charnes} \osoba{Charnes, A. - Cooper, W. W.}: An explicit general solution in linear fractional programming. \textit{Naval Research Logistics Quarterly}, 20, 1973, �. 3. (neuveden� strany).
\bibitem{charnes2} \osoba{Charnes, A. - Cooper, W. W.}: Programming with linear fractional functionals. \textit{Naval Research Logistics Quarterly}, 9, 1962, �. 3-4, s. 181--185.
\bibitem{charnes3} \osoba{Charnes, A. - Cooper, W. W. - Rhodes, E.}: Measuring the efficiency of decision making units. \textit{European Journal of Operational Research}, 2, 1978, �.~6, s. 429--444.
\bibitem{cook} \osoba{Cook, W. D.} - \osoba{Roll, Y.}: R \& D Project Selection - Productivity Considerations. \textit{R \& D Management}, 18, 1988, �. 3, s. 251--256.
\bibitem{cooper} \osoba{Cooper, W. W.} - \osoba{Park, K. S.} - \osoba{Yu, G.}: IDEA and AR-IDEA: Models for Dealing with Imprecise Data in DEA. \textit{Management Science}, 45, 1999, �. 4, s. 597-607.
\bibitem{cummins} \osoba{Cummins, J. D.} - \osoba{Zi, H. M.}: Comparison of frontier efficiency methods: An application to the US life insurance industry. \textit{Journal of Productivity Analysis}, 10, 1998, �. 2, s. 131--152.
\bibitem{debreau} \osoba{Debreau, G.}: The coefficient of resource utilization. \textit{Econometrica}, 19, 1951, �. 3, s. 273--292.
\bibitem{despotis} \osoba{Despotis, D. K. - Smirlis, Y. S.}: Data envelopment analysis with imprecise data. \textit{European Journal of Operational Research}, 26, 2002, �. 140, s. 24--37.
\bibitem{dlouhy} \osoba{Dlouh�, M.}: An Analysis of Medical Staff Productivity. In: \textit{Mathematical Methods in Economics 1999}. Praha: Vysok� �kola ekonomick�, 1999, s. 73--78.
\bibitem{epstein} \osoba{Epstein, M. K.} - \osoba{Henderson, J. C.}: Data Envelopment Analysis for Managerial Control and Diagnosis. \textit{Decision Sciences}, 20, 1989, �. 1, s. 90--119.
\bibitem{fandel} \osoba{Fandel, P.}: Data envelopment analysis and its application in agricultural production efficiency analysis. \textit{Central European Journal for Operations Research and Economics}, 6, 1998, �. 3--4, s. 159--167.
\bibitem{farrel} \osoba{Farrell, M. J.}: The measurement of productive efficiency. \textit{Journal of the Royal Statistical Society}, Series A 120, 1957, s. 253--281.
\bibitem{fare3} \osoba{F�re, R.} - \osoba{Grosskopf, S.}: Two perspectives on DEA: Unveiling the link between CCR and Shephard. \textit{Journal of Productivity Analysis}, 17, 2002, �. 1--2, s. 41--47.
\bibitem{fare} \osoba{F�re, R. - Grosskopf, S. - Lovell, C. A. K.}: \textit{The measurement of efficiency of production}. Dordrecht: Kluwer-Nijoff Publishing, 1985.
\bibitem{fare2} \osoba{F�re, R. - Grosskopf, S. - Lovell, C. A. K.}: \textit{Production Frontiers}. New York: Cambridge University Press, 1994.
\bibitem{favero} \osoba{Favero, C. A.} - \osoba{Papi, L.}: Technical Efficiency and Scale Efficiency in the Italian Banking Sector -- a Nonparametric Approach. \textit{Applied Economics}, 27, 1995, �. 4, s. 385--395.
\bibitem{halme} \osoba{Halme, M.} - \osoba{Joro, T.} - \osoba{Matti, K.}: Dealing with interval scale data in data envelopment analysis. \textit{European Journal of Operational Research}, 137, 2002, �. 1, s. 22-27.
\bibitem{holzer} \osoba{Holzer, I.}: \textit{Einsatz der Data Envelopment Analysis zur effizienteren Dimensionierung von Einlasskanalgeometrien, um Durchfluss- und Drallzahl zu optimieren}. Diplomov� pr�ca. Wien: Technische Universit�t Wien, 1999.
\bibitem[\osoba{Jenkins}, \osoba{Anderson}, 2003]{jenkins} \osoba{Jenkins, L.} - \osoba{Anderson, M.}: A multivariate statistical approach to reducing the number of variables in data envelopment analysis. \textit{European Journal of Operational Research}, 147, 2003, �. 1, s. 51-61. 
\bibitem{johnes} \osoba{Johnes, G.} - \osoba{Johnes, J.}: Measuring the Research Performance of UK Economics Departments -- an Application of Data Envelopment Analysis. \textit{Oxford Economic Papers-New Series} 45, 1993, �. 2, s. 332--347.
\bibitem{kacvinska} \osoba{Kacvinsk�, K.}: \textit{Ekonomick� efekt�vnos� investi�n�ch projektov podniku}. Diplomov� pr�ca. Ko�ice: Pr�rodovedeck� fakulta Univerzity P. J. �af�rika, 2001.
%
\bibitem{kao} \osoba{Kao, C.}: Data envelopment analysis with missing data. In: Rupnik, V. a i.: \textit{SOR '99. Proceedings of the 5th international symposium on Operational research in Slovenia}. Ljubljana: Slovenian Society Informatika, Section for Operational Research, 1999, s. 173--178.
\bibitem{kao2} \osoba{Kao, C. - Liu, S. T.}: Fuzzy efficiency measures in data envelopment analysis. \textit{Fuzzy sets and Systems}, 113, 2000, �. 3, s. 427--437.
\bibitem{kuosmanen} \osoba{Kuosmanen, T.}: \textit{Modeling Blank Data Entries in Data Envelopment Analysis}. EconWPA working paper at WUSTL, no. 0210001 (Econometrics), 2002,\\{\tt http://ideas.repec.org/p/wpa/wuwpem/0210001.html}.
\bibitem{koopmans} \osoba{Koopmans, T. C.}: An analysis of production as an efficient combination of activities. In: Koopmans, T. C.: \textit{Activity Analysis of Production and Allocation}. New York: Wiley, 1951.
\bibitem{metters} \osoba{Metters, R.} - \osoba{Vargas, V.}: A comparison of production scheduling policies on costs, service level, and schedule changes. \textit{Production Operations Management}, 8, 1999, �. 1, s. 76--91.
\bibitem{seiford} \osoba{Seiford, L. M.} - \osoba{Thrall, R. M.}: Recent development in DEA. \textit{Journal of Econometrics}, 46, 1990, �. 1--2, s. 7-38.
\bibitem{sinuany} \osoba{Sinuany-Stern, Z.}, \osoba{Mehrez, A.} - \osoba{Barboy, A.}: Academic Departments and Efficiency Via DEA. \textit{Computers and Operations Research}, 21, 1994, �. 5, s. 543--546.
\bibitem{sojka} \osoba{Sojka, J.}: Dynamick� variant DEA anal�zy na~hodnotenie progn�z. \textit{Ekonomick� �asopis}, 49, 2001, �. 5, s. 960--969.
\bibitem{sevcovic} \osoba{�ev�ovi�, D. -- Halick�, M. -- Brunovsk�, P.}: DEA analysis for a large structured bank branch network. \textit{Central European Journal of Operations Research}, 9, 2001, �. 4, s. 329--342.
\bibitem{thanassoulis} \osoba{Thanassoulis, E.} - \osoba{Boussofiane, R.} - \osoba{Dyson, R. G.}: Exploring output quality targets in the provision of perinatal care in England using data envelopment analysis. \textit{European Journal of Operational Research}, 80, 1995, �. 3, s. 588-607.
\bibitem{zadeh} \osoba{Zadeh, L. A.}: Fuzzy sets as a basis for a theory of probability. \textit{Fuzzy Sets and Systems}, 1, 1978, �. 1, s. 3--28.
\bibitem{zimmerman} \osoba{Zimmermann, H. J.}: \textit{Fuzzy Set Theory and Its Application}, 3. vydanie, Boston: Kluwer-Nijhoff, 1996.
%
\end{thebibliography}
%
\addtocontents{toc}{\protect\contentsline{chapter}{Pr�loha}{}}
\end{document}
