KRVOPOT

1. Dokážte, že n priamok rozdelí rovinu najviac na 1 + n(n+1)/2 oblastí.
2. V rovine je daných niekoľko kružníc, ktoré túto rovinu rozdelia na oblasti. Dokážte, že tieto oblasti možno zafarbiť dvoma farbami tak, aby každé dve susedné oblasti (t.j. také, ktoré majú nekonečne veľa spoločných bodov) mali rôznu farbu.
3. Zo štvorčekovanej siete s rozmermi 2 ⁿ x 2 ⁿ odstránime ľubovoľný štvorček. Dokážte, že takto upravenú sieť možno (úplne a bez prekrývania) pokryť tzv. triminami (útvarmi v tvare písmena L zloženými z troch štvorčekov) v ľubovoľnom otočení.
4. Konvexný n-uholník (n ≥ 4) je niektorými svojimi uhlopriečkami rozdelený na trojuholníky (t.j. je vytvorená jeho triangulácia). Nazvime krajným každý taký z týchto trojuholníkov, ktorého dve strany sú stranami n-uholníka a tretia je uhlopriečkou n-uholníka. Dokážte, že aspoň dva z týchto trojuholníkov sú krajné.
5. V priestore je daných n rovín v tzv. všeobecnej polohe - každé tri majú jediný spoločný bod a žiadne štyri nemajú spoločný bod. Zistite, na koľko oblastí rozdelia tieto roviny priestor.
6. Dokážte, že pre každé prirodzené číslo k ≥ 1 platí:
   odmocnina(2 - 2.odmocnina(0.1)) + odmocnina(4 - 2.odmocnina(1.2)) + ... + odmocnina(2k - 2.odmocnina((k-1).k)) ≥ odmocnina(k.(k+1)).

1. Ktorých 5-ciferných čísel je viac – tých, ktoré obsahujú aspoň jednu číslicu 1, alebo tých, ktoré žiadnu číslicu 1 neobsahujú?
2. V štvorcovej sieti vytvorenej z jednotkových štvorčekov je daný obdĺžnik ABCD, ktorého strany ležia na priamkach tejto siete a majú veľkosť m, n. Určte, koľkými spôsobmi sa môžeme dostať z bodu A (vľavo dolu) do bodu C (vpravo hore), ak sa pohybujeme iba po priamkach tejto siete a nikdy nejdeme vľavo ani nadol.
3. Koľkými spôsobmi môžeme na čierne políčka šachovnice 8 x 8 rozmiestniť 12 bielych (nerozlíšiteľných) a 12 čiernych (nerozlíšiteľných) kociek tak, aby toto rozmiestnenie bolo symetrické podľa stredu šachovnice.
4. Janko vyrába modely pravidelného štvorbokého ihlana z rovnako dlhých paličiek modrej a červenej farby. Koľko rôznych modelov môže vyrobiť?
5. Na mestskej pokladnici je niekoľko zámkov, od každého z nich existuje práve 7 rovnakých kľúčov. Koľko musí byť na pokladnici zámkov, aby ju žiadnych 6 z celkového počtu 13 radných pánov nemohlo otvoriť, ale každých 7 z nich ju otvoriť mohlo?
6. Dokážte:
   kombinačnéČíslo(n,0).kombinačnéČíslo(n,n) + kombinačnéČíslo(n,1).kombinačnéČíslo(n,n-1) +
   + kombinačnéČíslo(n,2).kombinačnéČíslo(n,n-2) + ... +
   + kombinačnéČíslo(n,n-1).kombinačnéČíslo(n,1) + kombinačnéČíslo(n,n).kombinačnéČíslo(n,0) =
   = kombinačnéČíslo(2n,n).

1. Dokážte, že v konvexnom päťuholníku je súčet dĺžok uhlopriečok väčší než súčet dĺžok strán.
2. Nájdite taký vnútorný bod rovnostranného trojuholníka, ktorého súčet vzdialeností od všetkých troch strán je najmenší.
3. V jednej tretine vzdialenosti bodu G od bodu D na kocke s obvyklým označením ABCDEFGH sedí a spí mucha ("Śedzi muha na sceňe, śedzi a śpi..."). Nájdite čo najkratšiu cestu, ktorou sa po povrchu kocky dostane k spiacej muche pavúk striehnuci v jednej tretine vzdialenosti bodu A od bodu B.
4. K existujúcej štvorcovej budove laboratória L máme pristavať novú budovu skladu S, ktorá má mať tiež pôdorys tvaru štvorca a pôvodnej budovy sa má dotýkať jedným vrcholom. Dva priestory ohraničené stenami budov sa majú pomocou plota zmeniť na dve trojuholníkové záhrady, pričom juhozápadná má mať väčšiu plochu ako severovýchodná. Aká veľká bude budova skladu a ako bude pootočená vzhľadom na laboratórium?
5. Na kružnici k sú dané pevné body A, B a premenný bod C. Určte množinu priesečníkov výšok všetkých trojuholníkov ABC.
6. Na kružnici opísanej rovnostrannému trojuholníku ABC je na menšom oblúku určenom bodmi B a C bod D. Dokážte, že platí |AD|=|BD|+|CD|.

1. Koľkými nulami končí číslo 2003!?
2. Peter zistil, že má špeciálne číslo sociálneho poistenia. Jeho 9 cifier obsahuje všetky čísla od 1 po 9 a má aj takúto vlastnosť: Ak ho číta zľava doprava, jeho prvé 2 cifry vytvoria číslo deliteľné 2, prvé 3 cifry číslo deliteľné 3, prvé 4 cifry číslo deliteľné 4, prvých 5 cifier číslo deliteľné 5, prvých 6 cifier číslo deliteľné 6, prvých 7 cifier číslo deliteľné 7, prvých 8 cifier číslo deliteľné 8 a prvých 9 cifier číslo deliteľné 9. Aké má Peter číslo sociálnej poisťovne?
3. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísel <x,y>, pre ktoré je x² - y² treťou mocninou prvočísla.
4. Nájdite 1000 za sebou idúcich zložených prirodzených čísel.
5. Nájdite všetky trojice navzájom rôznych prirodzených čísel také, že súčet každých dvoch čísel z takej trojice je deliteľný zvyšným číslom z tejto trojice.
6. Akým najmenším prirodzeným číslom musíme vynásobiť číslo 333...333 (72 trojek), aby sme dostali číslo zo samých jednotiek?

Súťaž je určená študentom učiteľského štúdia odboru matematika a všetkým, ktorí majú radi zaujímavé úlohy a majú aj chuť porozmýšľať nad ich riešením. Súťaž prebieha korešpondenčnou formou. Riešitelia pošlú svoje riešenia úloh do stanoveného termínu organizátorom súťaže. V priebehu dvoch-troch týždňov budú opravené a obodované. V jednom školskom roku prebiehajú dva semestre súťaže. V každom semestri sú dve série úloh. Po uzavretí dvoch semestrov sa najlepší riešitelia zúčastnia matematického vikendu v rekreačnom zariadení na východnom Slovensku.

Každá séria obsahuje 6 úloh. Za riešenie úlohy je možné získať maximálne 5 bodov. Do celkového počtu bodov započítame body za 5 najvyššie obodovaných úloh. Maximálny počet bodov získaný v jednej sérii je teda 25. V prípade, že riešenie niektorej úlohy je u viacerých riešiteľov rovnaké (teda ak ide o odpisovanie), počet bodov za danú úlohu delíme počtom rovnakých riešení a zaokrúhlime nadol. Ak nájdete niektorú z úloh série vyriešenú v literatúre, uveďte názov, autora a stranu, inak riskujete stratu bodov za odpisovanie.

• Študenti 4. ročníka MX, ktorí získajú v jednom semestri súťaže viac ako 50% bodov, môžu v predmete Didaktika matematiky (DID1b) získať 40 bodov z celkového počtu 100 bodov. Tieto body môžu nahradiť chýbajúce body za účasť a DT1 - didaktický test z dôkazových úloh.
• Študenti 3. a 4. ročníka MX, ktorí získajú v jednom semestri súťaže viac ako 50% bodov, môžu v predmete Seminár k matematickej olympiáde (MO1a, MO1c) získať 50 bodov z celkového počtu 100 bodov.