KRVOPOT

1. Tabuľku čokolády možno lámať len pozdĺž ľubovoľnej z rýh, ktoré ju rozdeľujú na elementárne kúsky, a to vždy len jednu vrstvu. Aký najmenší počet zlomení čokolády 5x7 potrebujeme, aby sme získali všetky elementárne kúsky?
2. Možno šachovnicu 10x10 pokryť bez prekrývania doštičkami rozmerov 1x4?
3. Nazvime iterovaným ciferným súčtom opakované aplikovanie operácie ciferného súčtu až po dosiahnutie jednociferného čísla (napr. iterovaný ciferný súčet čísla 98 je 8, lebo ciferný súčet 98 je 17, ciferný súčet 17 je 8 a 8 je už jednociferné). Nájdite všetky hodnoty iterovaných ciferných súčtov čísel z množiny {4, 45, 454, 4545, 45454, 454545, ...}.
4. Vo vrcholoch štvorca so stranou dĺžky 10 km sú 4 samonavádzacie rakety A, B, C a D. Raketa A má za cieľ raketu B, raketa B raketu C, raketa C raketu D a napokon raketa D raketu A. Všetky sa pohybujú rovnakou rýchlosťou 1 km/s. Za aký čas zostrelí raketa A raketu B, ak všetky rakety vyštartujú naraz?
5. Tri litrové nádoby sú do troch štvrtín naplnené rôznymi homogénnymi tekutinami. Predpokladajme, že tieto tekutiny po zmiešaní vždy vytvoria opäť homogénnu tekutinu. Možno konečným počtom preliatí medzi týmito troma nádobami získať zmes v pomere 1:1:1?
6. Hra Dzindzíky sa začína tak, že na papieri je nakreslených n krížikov (+), každý z nich je tvorený 4 dzindzíkmi - čiaročkami vedenými zo stredu krížika. Ťah spočíva v ľubovoľnom spojení 2 dzindzíkov čiarou, ktorá nepretína žiadnu už existujúcu čiaru, a v jej následnom miernom preškrtnutí, čím vzniknú 2 nové dzindzíky (každý na inú stranu čiary). Hráč, ktorý nemôže urobiť ťah, prehráva. Ako má hrať 1. hráč, aby vyhral?

1. Nech (a₁,a₂,a₃,a₄,a₅) je postupnosť piatich čísel. Vpíšme medzi tieto čísla znamienka < , >, = . Môžeme dostať napr. a₁ < a₂ = a₃ > a₄ = a₅. Pre iné čísla môžeme dostať iné usporiadanie znamienok. Dokážte, že ak zoberieme 82 postupností piatich čísel, tak aspoň dve z nich majú rovnaké usporiadanie znamienok.
2. Dokážte, že na večierku, na ktorom sú aspoň dvaja ľudia, musia byť dvaja ľudia, ktorí majú rovnaký počet známych medzi ostatnými účastníkmi večierka. (Platí, že ak je niekto mojim známym, tak aj ja som jeho známym.)
3. Každá z deviatich priamok rozdeľuje daný štvorec na dva štvoruholníky, ktorých obsahy sú v pomere 2:3. Dokážte, že aspoň 3 z týchto priamok prechádzajú tým istým bodom.
4. Z malých kociek s hranou dĺžky 1 cm vytvorme ľubovoľne veľkú kocku (s hranou dĺžky aspoň 2 cm). Vo veľkej kocke vo vrcholoch malých kociek si ľubovoľne zvoľme 9 rôznych bodov. Dokážte, že stred aspoň jednej úsečky určenej týmito bodmi je vrcholom niektorej malej kocky.
5. Predpokladajme, že každý bod v rovine je zafarbený bielou alebo čiernou farbou. Dokážte, že existuje obdĺžnik, ktorého všetky vrcholy sú zafarbené jednou farbou.
6. Dokážte, že ak si ľubovoľne zvolíme 55 rôznych celých čísel z intervalu [1,100], budú tam dve, ktorých rozdiel je 9, dve, ktorých rozdiel je 10, dve, ktorých rozdiel je 12 a dve, ktorých rozdiel je 13. Prekvapujúco tam nemusia byť dve, ktorých rozdiel je 11. Ukážte.

1. Dokážte, že pre prirodzené číslo n > 2 platí (n!)² > nⁿ.
2. Dokážte, že čísla 49, 4489, 444889, 44448889, ..., ktoré dostaneme postupne tak, že "do stredu" zápisu predchádzajúceho čísla vsunieme 48, sú všetko druhé mocniny prirodzeného čísla.
3. Riešte v C rovnicu x⁶ + 3x⁵ - x⁴ - 7x³ - 15x² - 11x - 6 = 0.
4. Nech P_n označuje počet n-ciferných čísel, ktorých cifry sú len z množiny {1, 2, 3}, pričom žiadne dve nepárne cifry nenasledujú za sebou. Ukážte, že P_n je pre všetky n nepárne a nájdite minimálne n, pre ktoré je P_n > 82001.
5. Dokážte, že hodnota výrazu 3(x²/y² + y²/x²) - 8(x/y + y/x) + 10 je nezáporná pre všetky dvojice nenulových reálnych čísel x, y.
6. Riešte v R x R x R:
         x₁³ + x₂³ + x₃³ = 25
         (x₁ + x₂)(x₂ + x₃)(x₃ + x₁) = -8
         x₁x₂x₃ = -3

1. Pán a pani Grafovci boli na večierku, kde sa stretli s troma ďalšími manželskými pármi. Nastalo vzájomné podávanie rúk. Nikto nepodal ruku svojmu manželskému partnerovi, nikto nepodal ruku dvakrát tej istej osobe, a samozrejme nikto nepodal ruku sám sebe. Keď sa podávanie rúk skončilo, pán Graf sa každého vrátane svojej manželky opýtal, koľkokrát podal ruku. (Nepýtal sa sám seba.) Na jeho prekvapenie každý dal inú odpoveď. Koľkokrát podala ruku pani Grafová?
2. Na otváracej párty konferencie z teórie grafov je 2000 grafárov. Medzi každými štyrmi grafármi sa nájde vždy aspoň jeden, ktorý pozná troch ostatných. Existujú traja grafári, ktorí sa vzájomne nepoznajú. Dokážte, že ostatných 1997 grafárov pozná každého účastníka párty. ("Poznanie" je symetrická relácia.)
3. Nájdite najväčšie prirodzené číslo, v ktorom každé trojčíslie je prvočíslo a tieto prvočísla sú navzájom rôzne
4. Existuje mnohosten, skladajúci sa z jedného päťuholníka a niekoľkých trojuholníkov, ktorý má 12 hrán?
5. Nech je daný rovinný eulerovský graf (t.j. možno ho nakresliť jedným uzavretým ťahom) a nejaké jeho rovinné nakreslenie. Dokážte, že existuje uzavretý eulerovský ťah, ktorý v danom nakreslení nikde nekrižuje sám seba (môže sa dotýkať vo vrcholoch, ale nikdy neprejde "na druhú stranu").
6. Nech G je graf maximálneho stupňa 3. Dokážte, že jeho vrcholy možno ofarbiť dvoma farbami tak, že nevznikne jednofarebná cesta na 3 vrcholoch.

Súťaž je určená študentom učiteľského štúdia odboru matematika a všetkým, ktorí majú radi zaujímavé úlohy a majú aj chuť porozmýšľať nad ich riešením. Súťaž prebieha korešpondenčnou formou. Riešitelia pošlú svoje riešenia úloh do stanoveného termínu organizátorom súťaže. V priebehu dvoch-troch týždňov budú opravené a obodované. V jednom školskom roku prebiehajú dva semestre súťaže. V každom semestri sú dve série úloh. Po uzavretí dvoch semestrov sa najlepší riešitelia zúčastnia matematického vikendu v rekreačnom zariadení na východnom Slovensku.

Každá séria obsahuje 6 úloh. Za riešenie úlohy je možné získať maximálne 5 bodov. Do celkového počtu bodov započítame body za 5 najvyššie obodovaných úloh. Maximálny počet bodov získaný v jednej sérii je teda 25. V prípade, že riešenie niektorej úlohy je u viacerých riešiteľov rovnaké (teda ak ide o odpisovanie), počet bodov za danú úlohu delíme počtom rovnakých riešení a zaokrúhlime nadol. Ak nájdete niektorú z úloh série vyriešenú v literatúre, uveďte názov, autora a stranu, inak riskujete stratu bodov za odpisovanie.

• Študentom 4. ročníka MX, ktorí získajú aspoň v jednom semestri súťaže viac ako 50% bodov a zároveň sa umiestnia do 15. miesta v súťaži, bude odpustená písomka na skúške z predmetu Didaktika matematiky.
• Študentom 4. ročníka MX, ktorí získajú aspoň v jednom semestri súťaže viac ako 25% bodov a zároveň sa umiestnia do 15. miesta v súťaži alebo získajú viac ako 50% bodov, bude odpustená zápočtová písomka z predmetu Didaktika matematiky.
• Študentom 3. ročníka MX, ktorí získajú aspoň v jednom semestri súťaže viac ako 25% bodov a zároveň sa umiestnia do 15. miesta v súťaži alebo získajú viac ako 50% bodov, budú odpustené dve zápočtové písomky z predmetu Didaktika matematiky.
• Študentom MX, ktorí získajú aspoň v jednom semestri súťaže viac ako 25% bodov a zároveň sa umiestnia do 15. miesta v súťaži alebo získajú viac ako 50% bodov, bude odpustená zápočtová písomka z predmetu Seminár k matematickej olympiáde.